実スカラー場の量子化


場を量子化する際、波動関数の振幅を演算子に置き換えると、なぜ生成消滅演算子になるのか考えます。

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はじめに

歴史的に見ると、場の量子化は、量子力学で粒子を量子化したことを参考に、電磁場を量子化して光子を表す研究からはじまっている。まず簡単に、電磁波の編光を無視した実スカラー場で考察され、他の場に応用されたようである。

実際にディラックによって発見された場を量子化する手法は、場を波数\(k\)が異なる正弦波ごとにフーリエ展開し、それぞれの正弦波が単振動のように振る舞うので、生成・消滅演算子を使って量子化、個数演算子で「運動量\(k\)の粒子が何個ある」と言い換えて、場の粒子性を表した。

調和振動子の量子化と生成・消滅演算子

実スカラー場の量子化を考える前に、古典的な調和振動子が、量子力学で生成・消滅演算子を使ってどのように量子化されるか見てみる。古典的な調和振動子を指数関数の形で書くと
$$x=ae^{-i\omega t}+a^*e^{i\omega t}$$
となる。(第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(x\)が実数であることが保証される)ここで\(a\)は\(t=0\)の時の振幅を表し、定数であることを強調しておく。

上記の式を古典的な調和振動子のエネルギー式に代入してハミルトニアンを計算すると
$$\begin{eqnarray}
H&=&\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\\
&=&\frac{1}{2}m(-i\omega ae^{-i\omega t}+i\omega a^*e^{i\omega t})^2+\frac{1}{2}m\omega^2(ae^{-i\omega t}+a^*e^{i\omega t})^2\\
&=&\frac{1}{2}m(-\omega^2a^2e^{-2i\omega t}+2\omega^2a^*a-\omega^2a^{*2}e^{2i\omega t})+\frac{1}{2}m\omega^2(a^2e^{-2i\omega t}+2a^*a+a^{*2}e^{2i\omega t})\\
&=&2m\omega^2a^*a
\end{eqnarray}$$
となる。ここで少し強引だが、
$$a→\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}a$$
と書き換えると、
$$H=\omega a^*a$$
となり、量子力学で生成・消滅演算子を使って量子化した調和振動子の結果
$$\begin{eqnarray}
H&=&\omega\left(a^\dagger a-\frac{1}{2}i[x,p]\right)\\
&=&\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray}$$
との対応が見てとれる。基底エネルギーの1/2の項は、\(x\)と\(p\)の交換関係から出てきた値で、古典論では0になる。従って調和振動子\(x\)を量子化するには、\(t=0\)で
$$a(0)→\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}a(0)$$
のように係数(演算子\(a\)の規格化因子)を取り、振幅を生成・消滅演算子で書き換えれば良いことがわかる。実際にそのようにして調和振動子の式を書き換えて量子化すると、演算子\(x\)と\(p\)は、
$$\begin{eqnarray}
x&=&\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}\left(ae^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}\right)\\
p&=&m\frac{dx}{dt}\\
&=&i\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(-ae^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}\right)
\end{eqnarray}$$
となる。逆に解くと、
$$\begin{eqnarray}
a^\dagger(0)e^{i\omega t}&=&\sqrt\frac{m\omega}{2}\left(x-\frac{i}{m\omega}p\right)=a^\dagger(t)\\
a(0)e^{-i\omega t}&=&\sqrt\frac{m\omega}{2}\left(x+\frac{i}{m\omega}p\right)=a(t)
\end{eqnarray}$$
となり、生成・消滅演算子の定義式が再現される。

実スカラー場の量子化

スカラー場はクライン-ゴルドン方程式で表され、その解が実数になるように書くと
$$\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}(a_\boldsymbol{k} e^{i\boldsymbol{kx}-i\omega_\boldsymbol{k}t}+a^*_\boldsymbol{k} e^{-i\boldsymbol{kx}+i\omega_\boldsymbol{k}t})$$
となる。(調和振動子の\(x\)にあたるのが\(\phi\)になっており、先程と同様に第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(\phi\)が実数であることが保証される)そして、ここでも\(a\)は\(t=0\)、\(x=0\)の時の振幅を表していることを強調しておく。

この式は、\(\boldsymbol{x}\)を固定して見てみると、\(\boldsymbol{k}\)が異なる独立した調和振動子の重ね合わせになっており、調和振動子と生成・消滅演算子の議論をそのまま適用して量子化できる。

ここで調和振動子の質量\(m\)(場なので、以下、密度\(\rho\)とする)を考える。場においては、振動している場自身の質量(のような量)にあたり、実際の粒子の質量ではない。また、調和振動子を量子化する議論で、質量\(\rho\)は、あくまで演算子\(a\)の規格化因子の中でのみ表れ、質量\(\rho\)がどのような値でも実際の物理(観測値)には影響しない。従って、これより式が簡単になる\(\rho=1\)を採用する。

実スカラー場の振幅を\(t=0\)、\(\boldsymbol{x}=0\)で
$$a→\sqrt{\frac{1}{2\omega}}a$$
と規格化因子を取り、生成・消滅演算子に書き換えて場\(\phi\)を量子化すると、
$$\fbox{\(\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{1}{ 2\omega_\boldsymbol{k}}}(a_\boldsymbol{k} e^{-ikx}+a^\dagger_\boldsymbol{k} e^{ikx})\)}$$
となる。場の運動量(のような量。実際の粒子の運動量では無い)の演算子\(\pi\)は、\(\rho=1\)なので、
$$\begin{eqnarray}
\pi(\boldsymbol{x},t)&=&\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}\\
&=&\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}i\sqrt{\frac{\omega_\boldsymbol{k}}{2}}(-a_\boldsymbol{k} e^{-ikx}+a^\dagger_\boldsymbol{k} e^{ikx})
\end{eqnarray}$$
となる。

場の正準交換関係

同時刻で、
$$\begin{eqnarray}
[\phi(\boldsymbol{x},t),\pi(\boldsymbol{x}’,t)]&=&\phi\pi-\pi\phi\\
&=&\iint \frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{1}{2\omega}}i\sqrt{\frac{\omega’}{2}}\{
(ae^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})(-a’e^{-ik’x’}+a’^\dagger e^{ik’x’})-(-a’e^{-ik’x’}+a’^\dagger e^{ik’x’})(ae^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})\}\\
&=&\frac{i}{2}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}\{(-aa’e^{-ikx-ik’x’}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x’}-a^\dagger a’e^{ikx-ik’x’}+a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x’})-(-a’ae^{-ikx-ik’x’}-a’a^\dagger e^{ikx-ik’x’}+a’^\dagger ae^{-ikx+ik’x’}+a’^\dagger a^\dagger e^{ikx+ik’x’})\}\\
&=&\frac{i}{2}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}([a’,a]e^{-ikx-ik’x’}+[a,a’^\dagger]e^{-ikx+ik’x’}+[a’,a^\dagger]e^{ikx-ik’x’}+[a^\dagger,a’^\dagger]e^{ikx+ik’x’})\\
&=&\frac{i}{2}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}\{0+\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)e^{i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}’-\omega’ t)}+\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)e^{-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}’-\omega’ t)}+0\}\\
&=&\frac{i}{2}\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\{e^{i\boldsymbol{k}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)}+e^{-i\boldsymbol{k}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)}\}(デルタ関数の公式 \int f(k’)\delta(k-k’)dk’=f(k) より)\\
&=&i\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)(デルタ関数の公式 \frac{1}{2\pi}\int e^{ik(x-x’)}dk=\delta(x-x’)および\delta(x-x’)=\delta(-x+x’)より)
\end{eqnarray}$$
となり、場の正準交換関係が確かめられる。ちなみにほとんどの教科書では、場の正準交換関係をセット(正準量子化)した後、生成・消滅演算子を確認しているが、それだとなぜ生成・消滅演算子が導出されるのか明確で無いため、逆に生成・消滅演算子から量子化し、場の正準交換関係を確めた。ただし、
$$[a_\boldsymbol{k},a^\dagger_\boldsymbol{k’}]=\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)、[a_\boldsymbol{k},a_\boldsymbol{k’}]=[a^\dagger_\boldsymbol{k},a^\dagger_\boldsymbol{k’}]=0$$
は、断りなく使用している。(”調和振動子の量子化”では、\(\boldsymbol{k}\)が異なる演算子の交換関係を議論しなかった。なんとなく自明な気もするが・・)

ラグランジアン密度

場のラグランジュ方程式に代入すると、クライン-ゴルドン方程式(波動方程式)が再現されるようにラグランジアンを考えると、
$$\fbox{\(\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2\)}$$
となる。(ここまでのように生成・消滅演算子を使用して議論していないことに注意)実際に計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}&=&\frac{\partial}{\partial\phi}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right\}-\partial_\mu\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu \phi)}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right\}\\
&=&-m^2\phi-□\phi=0
\end{eqnarray}$$
となり、確かにクライン-ゴルドン方程式が導かれる。

ハミルトニアン

ハミルトニアン密度からハミルトニアンを計算すると
$$\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3\boldsymbol{x}(\pi\dot{\phi}-\mathscr{L})(ルジャンドル変換\mathscr{H}=\pi\dot{\phi}-\mathscr{L}より)\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\left\{\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right)\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\{\pi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\left\{\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}i\sqrt{\frac{\omega}{2}}i\sqrt{\frac{\omega’}{2}}(-ae^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})(-a’e^{-ik’x}+a’^\dagger e^{ik’x})+\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}i\frac{\boldsymbol{k}}{\sqrt{2\omega}}i\frac{\boldsymbol{k}’}{\sqrt{2\omega’}}(a e^{-ikx}-a^\dagger e^{ikx})(a’e^{-ik’x}-a’^\dagger e^{ik’x}) +\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}m^2\sqrt{\frac{1}{2\omega}}\sqrt{\frac{1}{2\omega’}}(a e^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})(a’e^{-ik’x}+a’^\dagger e^{ik’x})\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\left\{\frac{\sqrt{\omega\omega’}}{2}(-aa’e^{-ikx-ik’x}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x}+a^\dagger a’e^{ikx-ik’x}-a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x})+\frac{\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’}{2\sqrt{\omega\omega’}}(-aa’e^{-ikx-ik’x}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x}+a^\dagger a’e^{ikx-ik’x}-a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x})+\frac{m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}(aa’e^{-ikx-ik’x}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x}+a^\dagger a’e^{ikx-ik’x}+a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x})\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\left[\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’+m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{a^\dagger a’e^{-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}+aa’^\dagger e^{i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}\}-\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’-m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{a^\dagger a’^\dagger e^{-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}+aa’e^{i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}\}\right]\\
&=&\frac{1}{2}\iint d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’\left[\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’+m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{\delta(-\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)a^\dagger a’e^{i(\omega-\omega’)t}+\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)aa’^\dagger e^{-i(\omega-\omega’)t}\}-\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’-m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{\delta(-\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)a^\dagger a’^\dagger e^{i(\omega+\omega’)t}+\delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)aa’e^{-i(\omega+\omega’)t}\}\right](デルタ関数の公式 \frac{1}{2\pi}\int e^{i(k-k’)x}dx=\delta(k-k’)より)\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}\left\{\frac{\omega^2+\boldsymbol{k}^2+m^2}{2\omega}(a^\dagger a+aa^\dagger)-\frac{\omega^2-\boldsymbol{k}^2-m^2}{2\omega}(a^\dagger a^\dagger+aa)\right\}(第2項は\omega^2=\boldsymbol{k}^2+m^2より、\boldsymbol{k}=-\boldsymbol{k}’であっても\omega=\omega’となる)\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}\omega(a^\dagger a+aa^\dagger)\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)([a_k,a_k^\dagger]=1より)
\end{eqnarray}$$
となる。定数項を削除すると、
$$\fbox{\(H=\int d^3\boldsymbol{k}\omega_\boldsymbol{k}a_\boldsymbol{k}^\dagger a_\boldsymbol{k}\)}$$
となる。ここで\(\omega\)は粒子のエネルギーを表し、\(a^\dagger a=N\)は個数演算子であるから、場として計算したエネルギーと生成・消滅演算子から粒子として計算したエネルギーが一致することがわかる。(先ほど\(\rho=1\)としたことは正しかった?)

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