調和振動(単振動)

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バネの復元力\(F\)は、バネを引いた距離\(x\)に比例する。(フックの法則
バネの自然長を原点に取れば復元力は原点に向かって働く(引っ張る方向\(x\)がプラスの時はマイナス方向に力が働く)ので、比例定数\(k\)にマイナスを付け、

$$F=-kx$$

となる。このように距離に比例する力が働く時、物体は原点を中心に往復運動をするが、このような運動を調和振動または単振動と言い、調和振動する物体を調和振動子と言う。運動方程式は、

$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$$

となり、\(x\)で解くと、2回微分して符号が逆で元に戻るのだから、

$$x=a\sin\left(\sqrt\frac{k}{m}t+\theta_0\right)$$

となる。

$$\omega=\sqrt\frac{k}{m}$$

とおくと、

$$x=a\sin\left(\omega t+\theta_0\right)
$$

となる。この式からわかるように調和振動の往復運動は、半径\(a\)、角速度\(\omega\)の等速円運動の\(y\)軸射影(\(\sin\)のこと)でイメージされる。定数\(a\)は振幅と言い、原点から最も遠い位置を表す。定数\(\theta_0\)は初期位相と言い、\(a\sin\theta_0\)で\(t=0\)の時の原点からの位置を表す。(ちなみに\(\cos\)も解になるが、\(\sin\)と位相が90度ずれているだけなので、初期位相を含めた\(\sin\)だけで表すことができる)

\(\omega\)を定義した式より、

$$k=m\omega^2$$

となるので、最初の式は、

$$F=-m\omega^2x$$

となる。調和振動の位置エネルギー\(V\)は、

$$\begin{eqnarray}
V&=&-\int Fdx\\
&=&\frac{1}{2}m\omega^2x^2
\end{eqnarray}$$

となり、運動エネルギーを含めた全エネルギー\(E\)は、

$$\fbox{\(E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\)}$$

となる。

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