階段関数（ステップ関数）

階段関数とは

変数が0より大きいとき1となり、0より小さいとき0となる関数を階段関数、もしくはステップ関数と言い、記号$\theta$で表す。

$$\begin{eqnarray}
\theta(t)=
\begin{cases}
1&(t\geqq0)\\
0&(t\lt0)
\end{cases}
\end{eqnarray}$$

階段関数の微分は、グラフの形から明らかにデルタ関数となる。

$$\frac{d\theta(t)}{dt}=\delta(t)$$

階段関数の積分表示は、

$$\theta(t)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\omega t}}{\omega-i\varepsilon}d\omega$$

となる。証明は、複素関数

$$f(z)=\frac{e^{izt}}{z-i\varepsilon}$$

を用いて行う。