ラグランジュ方程式

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ラグランジュ方程式の導出

最小作用の原理でラグランジアン\(L(q_i,\dot{q_i})\)を汎関数微分すると
$$\begin{eqnarray}
\delta S&=&\sum_i^n\delta\int dt L(q_i,\dot{q_i})\\
&=&\sum_i^n \int dt\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i \right)\\
&=&\sum_i^n \int dt\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{d}{dt}\delta q_i\right)
\end{eqnarray}$$
となる。第2項を部分積分すると、
$$\int dt\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\frac{d}{dt}\delta q_i=\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right]_{t_A}^{t_B}-\int dt\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i$$
となり、\(\delta q_i(t_A)=\delta q_i(t_B)=0\)であるから、第1項は\(0\)となる。したがって元の式は、
$$\delta S=\sum_i^n \int dt\left\{\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right\}\delta q_i$$
となる。さて、最小作用の原理から、仮想変位\(\delta q_i\)はあらゆる値をとる可能性があるが、上記の式は常に\(0\)でなくてはならない。それは、どの自由度\(i\)でも成り立ち、また、積分する時間が極端に短い一瞬でも成り立たなくてはならない。したがって、
$$\fbox{\(\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0\)}$$
となり、上記の式をラグランジュ方程式という。

運動方程式とラグランジュ方程式の関係

定義より、ラグランジアンを
$$L=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)$$
とする。ラグランジュ方程式に代入すると、
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)&=&-\frac{d}{d q}V(q)-\frac{d}{dt}m\dot{q}\\
&=&F(q)-m\ddot{q}=0
\end{eqnarray}$$
となり、運動方程式が再現される。また、途中式から
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial q}&=&F\\
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}&=&m\dot{q}=p
\end{eqnarray}\)}$$
の関係がある。

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