複素積分とコーシーの定理

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複素積分

複素数\(z\)の関数\(f(z)\)を積分することを考える。
$$I=\int_C f(z)dz$$
実数の積分との違いは、変数が複素数のため、積分範囲が数直線上ではなく、複素平面上になる。\(dz\)は複素平面上の微小線分だから、積分範囲は複素平面上の任意の経路\(C\)となり、その経路に従って複素数が変化する。

実際の計算例

任意の経路と言っても、実際に計算するには経路が適切な関数になっている必要がある。例えば、複素平面の原点と\(1+i\)を結ぶ直線を経路\(C\)とし、関数\(f(z)=z\)の積分を考える。複素数\(z=a+ib\)のとき経路\(C\)では\(a=b\)だから
$$\begin{eqnarray}
\int_C f(z)dz&=&\int_0^{1+i} zdz\\
&=&\int_0^1 (a+ia)\frac{dz}{da}da\\
&=&\int_0^1 (a+ia)(1+i)da\\
&=&\int_0^1 2ia da\\
&=&[ia^2]_0^1\\
&=&i
\end{eqnarray}$$
となる。

複素積分の性質

$$\begin{eqnarray}
\int_C f(z)dz&=&\int_{C_1} f(z)dz+\int_{C_2} f(z)dz(但しC=C_1+C_2)\\
\int_C f(z)dz&=&-\int_{-C} f(z)dz
\end{eqnarray}$$

コーシーの定理

経路\(C\)が任意の閉曲線となっている場合を考える。関数\(f(z)=A+iB\)、複素数\(z=a+ib\)のとき
$$\begin{eqnarray}
\oint_C f(z)dz&=&\oint_C(A+iB)(da+idb)\\
&=&\oint_C (Ada+iAdb+iBda-Bdb)\\
&=&\oint_C (Ada-Bdb)+i\oint_C(Adb+Bda)\\
&=&\iint_D \left(-\frac{\partial B}{\partial a}-\frac{\partial A}{\partial b}\right)dadb+i\iint_D\left(\frac{\partial A}{\partial a}-\frac{\partial B}{\partial b}\right)dadb(グリーンの定理より線積分を面積分にする)
\end{eqnarray}$$
となる。\(D\)は経路\(C\)内の面積になる。コーシー-リーマンの条件より(つまり面積\(D\)内がすべて正則のとき)、それぞれの項は\(0\)になるから、
$$\fbox{\(\oint_C f(z)dz=0\)}$$
となる。

積分経路

コーシーの定理を使うと、2点間ABの経路は、
$$\begin{eqnarray}
\oint_C f(z)dz&=&\int_{C_1(A\to B)}f(z)dz+\int_{C_2(B\to A)}f(z)dz\\
&=&\int_{C_1(A\to B)}f(z)dz-\int_{-C_2(A\to B)}f(z)dz\\
&=&0
\end{eqnarray}$$
だから、
$$\int_{C_1(A\to B)}f(z)dz=\int_{-C_2(A\to B)}f(z)dz$$
となり、複素積分では、どのような経路を辿っても積分値は変わらないことがわかる。

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