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反粒子
実スカラー場の量子化を参考に複素スカラー場の量子化を考える。複素スカラー場になると実部と虚部の自由度が1つ増える。結論から言うと、それにより、粒子と反粒子が表現される。
粒子と反粒子は、スピンや質量が同じで、電荷の符号が逆となる。粒子と反粒子が衝突すると消滅してエネルギーに代わり（対消滅）、ある条件でエネルギーを与えると、粒子と反粒子が生成される（対生成）。
この事から、複素スカラー場は、エネルギーの計算では足し算に、個数の計算では引き算になるような2種類の粒子の個数演算子を含んでいる。
ちなみに反粒子の重力は、一般の粒子と同じ向きに働きます。実験で証明されたようです。（詳しくはこちら）
複素スカラー場の量子化
クライン-ゴルドン方程式を満たす複素スカラー場の量子化は、実スカラー場の量子化を参考に
$$\boxed{\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{1}{ 2\omega_\boldsymbol{k}}}(a_\boldsymbol{k} e^{-ik\cdot x}+b^\dagger_\boldsymbol{k} e^{ik\cdot x})}$$
となる。また、その複素共役
$$\phi^\dagger(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{1}{ 2\omega_\boldsymbol{k}}}(a^\dagger_\boldsymbol{k} e^{ik\cdot x}+b_\boldsymbol{k} e^{-ik\cdot x})$$
も同様にクライン-ゴルドン方程式を満たす。この時、\(a\)、\(b\)がそれぞれ粒子、反粒子の生成・消滅演算子となっているのであるが、その妥当性については後ほど議論する。
ラグランジアン密度
場のラグランジュ方程式に代入すると、クライン-ゴルドン方程式（波動方程式）が再現され、且つ、ラグランジアンが実数になるように考えると、
$$\boxed{\mathscr{L}=\partial_\mu\phi^\dagger\partial^\mu\phi-m^2\phi^\dagger\phi}$$
となる。実際に計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}&=&-m^2\phi^\dagger-\square\phi^\dagger=0\\
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi^\dagger}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi^\dagger)}&=&-m^2\phi-\square\phi=0
\end{eqnarray}$$
となり、確かにクライン-ゴルドン方程式が導かれる。\(\phi\)の微分で\(\phi^\dagger\)の式が求まる（もしくはその逆）のは、\(\phi\)と\(\phi^\dagger\)が同じ2つの粒子を表しており、粒子と反粒子の違いはあくまで\(a\)、\(b\)の違いからくることに注意する。
\(\phi\)に正準共役の運動量
ラグランジアン密度より、\(\phi\)に正準共役の運動量を求めると
$$\begin{eqnarray}
\pi&=&\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{\phi}}\\
&=&\frac{\partial}{\partial\dot{\phi}}(\dot{\phi}^\dagger\dot{\phi}-\boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger\boldsymbol{\nabla}\phi-m^2\phi^\dagger\phi)\\
&=&\dot{\phi}^\dagger\\
\pi^\dagger&=&\dot{\phi}
\end{eqnarray}$$
となる。
2つの粒子
ここで、2つの粒子であることを明確とするため、2つの実スカラー場を使って、\(\phi\)を実部\(\phi_1\)と虚部\(\phi_2\)に分けて
$$\begin{eqnarray}
\phi&=&\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1-i\phi_2)\\
\phi^\dagger&=&\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1+i\phi_2)
\end{eqnarray}$$
と置く。見方を変えれば、ちょうど複素平面上で45度回転する変換
$$\begin{pmatrix}
\phi\\
\phi^\dagger
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos 45^\circ & -\sin 45^\circ\\
\sin 45^\circ & \cos 45^\circ
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\phi_1\\
i\phi_2
\end{pmatrix}$$
となっており、変換前後、つまり\(\phi_1\)、\(\phi_2\)と\(\phi^\dagger\)、\(\phi\)で波の形（実際の物理）は変わらない。\(\phi_1\)、\(\phi_2\)を使うと、ラグランジアンは
$$\begin{eqnarray}
\mathscr{L}&=&\partial_\mu\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1+i\phi_2)\right\}\partial^\mu\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1-i\phi_2)\right\}-m^2\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1+i\phi_2)\right\}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1-i\phi_2)\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_1\partial^\mu\phi_1-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_2\partial^\mu\phi_2-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2
\end{eqnarray}$$
となり、ちょうど、2つの実スカラー場の合計となっていることがわかる。また、先ほど同様に実際にラグランジアンを代入して計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi_1}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_1)}&=&\frac{\partial}{\partial\phi_1}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_1)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_2)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2\right\}-\partial_\mu\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu \phi_1)}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_1)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_2)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2\right\}\\
&=&-m^2\phi_1-□\phi_1=0\\
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi_2}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_2)}&=&\frac{\partial}{\partial\phi_2}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_1)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_2)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2\right\}-\partial_\mu\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu \phi_2)}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_1)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2+\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_2)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2\right\}\\
&=&-m^2\phi_2-□\phi_2=0
\end{eqnarray}$$
となり、確かに2つのクライン-ゴルドン方程式が導出される。以上より、複素スカラー場は、実部と虚部の自由度によって異なる2種類の粒子を含むことがわかる。
ハミルトニアン
ルジャンドル変換より、
\begin{eqnarray}
\mathscr{H}&=&\pi^\dagger\dot{\phi}^\dagger+\pi\dot{\phi}-\mathscr{L}\\
&=&\pi^\dagger\pi+\dot{\phi}^\dagger\dot{\phi}-(\partial_\mu\phi^\dagger\partial^\mu\phi-m^2\phi^\dagger\phi)\\
&=&\pi^\dagger\pi+\dot{\phi}^\dagger\dot{\phi}-(\dot{\phi}^\dagger\dot{\phi}-\boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger\boldsymbol{\nabla}\phi-m^2\phi^\dagger\phi)
\end{eqnarray}
となるから、ハミルトニアンは、
$$\boxed{H=\int d\boldsymbol{x}^3(\pi^\dagger\pi+\boldsymbol{\nabla}\phi^\dagger\boldsymbol{\nabla}\phi+m^2\phi^\dagger\phi)}$$
となる。（ハミルトニアンの変数に\(\dot{\phi}\)、\(\dot{\phi}^\dagger\)は含まない）また、ラグランジアンは\(\phi_1\)と\(\phi_2\)の2種類の粒子の合計なので、ハミルトニアンは
$$\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3\boldsymbol{x}(\pi_1\dot{\phi_1}+\pi_2\dot{\phi_2}-\mathscr{L})\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}\omega_\boldsymbol{k}(a_{1\boldsymbol{k}}^\dagger a_{1\boldsymbol{k}}+a_{2\boldsymbol{k}}^\dagger a_{2\boldsymbol{k}})（実スカラー場と同じ計算なので途中式は省略）
\end{eqnarray}$$
となる。ここで
$$\begin{eqnarray}
a&=&\frac{1}{\sqrt{2}}(a_1-ia_2)\\
b&=&\frac{1}{\sqrt{2}}(a_1+ia_2)
\end{eqnarray}$$
なので、
$$\begin{eqnarray}
a_1&=&\frac{1}{\sqrt{2}}(a+b)\\
a_2&=&\frac{i}{\sqrt{2}}(a-b)
\end{eqnarray}$$
となる。従って、
$$H=\int d^3\boldsymbol{k}\omega_\boldsymbol{k}\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(a_\boldsymbol{k}^\dagger+b_\boldsymbol{k}^\dagger)\frac{1}{\sqrt{2}}(a_\boldsymbol{k}+b_\boldsymbol{k})+\frac{-i}{\sqrt{2}}(a_\boldsymbol{k}^\dagger-b_\boldsymbol{k}^\dagger)\frac{i}{\sqrt{2}}(a_\boldsymbol{k}-b_\boldsymbol{k})\right\}$$
となるから、
$$\fbox{\(H=\int d^3\boldsymbol{k}\omega_\boldsymbol{k}(a^\dagger_\boldsymbol{k} a_\boldsymbol{k}+b^\dagger_\boldsymbol{k} b_\boldsymbol{k})\)}$$
となる。エネルギーの計算では、2種類の粒子の個数演算子は足し算となっている。
個数演算子
クライン-ゴルドン方程式で定義した内積を使って、\(\phi\)と\(\phi^\dagger\)の内積\(N\)を計算してみると、
$$\begin{eqnarray}
N&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\left\{\phi^\dagger\frac{\partial}{\partial t}\phi-\left(\frac{\partial}{\partial t}\phi^\dagger\right)\phi\right\}\\
&=&i\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}’d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\left\{-\sqrt{\frac{1}{2\omega’}}\sqrt{\frac{\omega}{2}}i(a’^\dagger e^{ik’x}+b’ e^{-ik’x})(-ae^{-ikx}+b^\dagger e^{ikx})+\sqrt{\frac{\omega’}{2}}i\sqrt{\frac{1}{2\omega}}(a’^\dagger e^{ik’x}-b’ e^{-ik’x})(ae^{-ikx}+b^\dagger e^{ikx})\right\}\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}’d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\left[-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega}{\omega’}}\{-a’^\dagger ae^{-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)+i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}+a’^\dagger b^\dagger e^{-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}-b’ae^{i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)+i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}+b’b^\dagger e^{i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}\}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}\{a’^\dagger ae^{-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)+i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}+a’^\dagger b^\dagger e^{-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}-b’a e^{i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)+i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}-b’b^\dagger e^{i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’ t)-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)}\}\right]\\
&=&\frac{1}{2}\iint d^3\boldsymbol{k}’d^3\boldsymbol{k}\left[\sqrt{\frac{\omega}{\omega’}}\{\delta(-\boldsymbol{k}’+\boldsymbol{k})a’^\dagger ae^{i(\omega’ -\omega)t}-\delta(-\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{k})a’^\dagger b^\dagger e^{i(\omega’+\omega)t}+\delta(\boldsymbol{k}’+\boldsymbol{k})b’ae^{-i(\omega’+\omega )t}-\delta(\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{k})b’b^\dagger e^{-i(\omega’-\omega)t}\}+\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}\{\delta(-\boldsymbol{k}’+\boldsymbol{k})a’^\dagger ae^{i(\omega’-\omega)t}+\delta(-\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{k})a’^\dagger b^\dagger e^{i(\omega’+\omega)t}-\delta(\boldsymbol{k}’+\boldsymbol{k})b’a e^{-i(\omega’+\omega)t}-\delta(\boldsymbol{k}’-\boldsymbol{k})b’b^\dagger e^{-i(\omega’-\omega)t}\}\right]\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}(a^\dagger a-a’^\dagger b^\dagger e^{2i\omega t}+b’ae^{-2i\omega t}-bb^\dagger+a^\dagger a+a’^\dagger b^\dagger e^{2i\omega t}-b’ae^{-2i\omega t}-bb^\dagger)\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}(a^\dagger a-bb^\dagger)
\end{eqnarray}$$
となり、\(bb^\dagger\)の交換関係より、定数項を削除して
$$\fbox{\(N=\int d^3\boldsymbol{k}(a^\dagger_\boldsymbol{k} a_\boldsymbol{k}-b^\dagger_\boldsymbol{k} b_\boldsymbol{k})\)}$$
となる。量子力学では状態ベクトルの内積は確率を表し、その確率は保存量となるから、ここで求めた演算子\(N\)の固有値も保存量であり、式の内容から、\(N\)は場の個数演算子と考えられる。個数の計算では、2種類の粒子の個数演算子は引き算となっている。
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