電磁場中を運動する荷電粒子


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運動方程式

外場である電磁場の影響を受けて運動する電荷\(e\)の荷電粒子の運動方程式は
$$m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$
となる。但し、荷電粒子自身の電磁場は、外場に比べて小さく無視できるとし、外場には影響しないと仮定する。

ラグランジアン

ラグランジュ方程式に代入して、上記の運動方程式が再現されるようなラグランジアンを考えると、ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)、スカラーポテンシャル\(V\)を使って
$$L=\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2-eV+e\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}$$
となる。実際にラグランジュ方程式にラグラジアンを代入して計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}&=&\{-e\boldsymbol{\nabla}V+e\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})\}-\frac{d}{dt}(m\boldsymbol{v}+e\boldsymbol{A})\\
&=&-e\boldsymbol{\nabla}V+e\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})-m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}-e\left\{\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{A})\right\}(最後の項は、汎関数微分で、\frac{d\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)}{dt}=\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\frac{dt}{dt}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial z}\frac{dz}{dt}=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v}となる)\\
&=&-m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}+e\left[\left(-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)+\left\{\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})-(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}\right\}\right]\\
&=&-m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}+e\left\{\left(-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)+\boldsymbol{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})\right\}(ベクトルの公式および\boldsymbol{v}は\boldsymbol{x}に寄らないので、\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A})=(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})+\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}+\boldsymbol{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})となる)\\
&=&-m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}+e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})=0
\end{eqnarray}$$
となり、確かに運動方程式が再現される。

ハミルトニアン

\(\boldsymbol{x}\)の正準共役量\(\boldsymbol{p}\)は、
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{p}&=&\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}}\\
&=&m\boldsymbol{v}+e\boldsymbol{A}(単純にm\boldsymbol{v}とならないことに注意)
\end{eqnarray}$$
となる。ルジャンドル変換より
$$\begin{eqnarray}
H&=&\boldsymbol{p}\cdot\dot{\boldsymbol{x}}-L\\
&=&(m\boldsymbol{v}+e\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{v}-\left(\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2-eV+e\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}\right)\\
&=&\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}^2+eV
\end{eqnarray}$$
であるから、
$$\fbox{\(H=\frac{1}{2m}(\boldsymbol{p}-e\boldsymbol{A})^2+eV\)}$$
となる。

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