ディラック方程式

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はじめに

クラインゴルドン方程式に負のエネルギーや負の確率が出てしまうは、エネルギー演算子について2次式だからである。ディラックはこの問題を解決するため、求める式は、エネルギー演算子(共変性から運動量演算子も)が線形(1次)であり、さらに相対論のエネルギーと運動量の関係式\(E^2=\boldsymbol{p}^2+
m^2\)を満たすと考え、1928年にディラック方程式を発表した。

ディラック方程式の導出

クラインゴルドン方程式
$$-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi=(-\boldsymbol{\nabla}^2+m^2)\phi$$
を参考にして、ディラックが仮定した実際に求める線形式は
$$i\frac{\partial}{\partial t}\psi=\{-\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}+\beta m\}\psi$$
である。この式の演算子部分を2乗すると、相対論のエネルギーと運動量の関係式、つまりクラインゴルドン方程式となるように\(\alpha\)、\(\beta\)を考えようと言うのである。

実際に演算子を2乗すると
$$\begin{eqnarray}
-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi&=&\{-\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}+\beta m\}\{-\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}+\beta m\}\psi\\
&=&(-i\alpha_1\partial_1-i\alpha_2\partial_2-i\alpha_3\partial_3+\beta m)(-i\alpha_1\partial_1-i\alpha_2\partial_2-i\alpha_3\partial_3+\beta m)\psi\\
&=&\left\{-\sum_i^3\alpha_i^2\partial_i^2-\sum_{i,j(i\neq j)}^3(\alpha_i\partial_i\alpha_j\partial_j+\alpha_j\partial_j\alpha_i\partial_i)-im\sum_i^3(\beta\alpha_i\partial_i+\alpha_i\partial_i\beta)+\beta^2 m^2\right\}\psi\\
&=&\left\{-\sum_i^3\alpha_i^2\partial_i^2-\sum_{i,j(i\neq j)}^3(\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i)\partial_i\partial_j-im\sum_i^3(\beta\alpha_i+\alpha_i\beta)\partial_i+\beta^2 m^2\right\}\psi
\end{eqnarray}$$
となる。この式がクラインゴルドン方程式を満たすのだから、\(\alpha\)、\(\beta\)の条件は、
$$\begin{eqnarray}
\alpha_i^2=\beta^2&=&1\\
\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i&=&0\\
\beta\alpha_i+\alpha_i\beta&=&0
\end{eqnarray}$$
となる。一般の数でこの条件を満たすことはできないが、行列なら可能である。結論を書くと、実際にこの条件を満たす最も簡単な行列の組み合わせは
$$\begin{eqnarray}
\alpha_1=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
,\alpha_2=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
,\alpha_3=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right)
,\beta=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right)
\end{eqnarray}$$
となり、パウリ行列と単位行列を使って書くと、
$$\begin{eqnarray}
\alpha_i=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{0} & \boldsymbol{\sigma} \\
\boldsymbol{\sigma} & \boldsymbol{0}
\end{array}\right)
,\beta=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\
\boldsymbol{0} & -\boldsymbol{1}
\end{array}\right)
\end{eqnarray}$$
となる。\(\alpha\)、\(\beta\)がわかったところで、最初の仮定した式の左から\(\beta\)を掛けると
$$\beta i\frac{\partial}{\partial t}\psi=\{-\beta\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}+\beta^2 m\}\psi$$
となり、\(\beta^2=1\)より、まとめると
$$(i\beta\partial_t+i\beta\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\nabla}-m)\psi=0$$
となる。さらに\(\gamma^\mu(\beta,\beta\boldsymbol{\alpha})\)を導入すると、求めるディラック方程式は、
$$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0$$
となる。\(\gamma^\mu\)をガンマ行列と言い、共変性は別途チェックする必要がある。今後、ガンマ行列と4元ベクトルの積は頻繁に必要となるので、
$$\fbox{\(a\hspace{-0.5em}/\equiv a^\mu \gamma_\mu\)}$$
の記号を導入すると、ディラック方程式は
$$\fbox{\((i\partial\hspace{-0.5em}/-m)\psi=0\)}$$
となる。また、最初に仮定した式に\(\alpha\)、\(\beta\)を代入すると、ディラック方程式は、
$$\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\psi=
\left(\begin{array}{cc} m\boldsymbol{1}&-\boldsymbol{\sigma}\cdot i\boldsymbol{\nabla}\\ -\boldsymbol{\sigma}\cdot i\boldsymbol{\nabla}&-m\boldsymbol{1}\end{array}\right)
\psi
\end{eqnarray}$$
となる。

ディラック方程式の解

ディラック方程式は4行4列の行列を含むので、波動関数\(\psi\)も4成分の列ベクトル、つまりスピノルとなる。したがって、
$$\psi=\left(\begin{array}{c}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\\ \psi_4 \end{array}\right)$$
のように書ける。ここである特定の波数\(\boldsymbol{k}\)の平面波解(運動量の固有関数)を2つの2行1列の行列\(\phi\)、\(\chi\) を使って
$$\psi=\left(\begin{array}{c}\phi\\ \chi\end{array}\right)e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega_{\boldsymbol{k}}t)} $$
のようにおいて、最後に求めたディラック方程式に代入すると、\(\boldsymbol {k}\)が \(\boldsymbol{p}\)、 \(\omega\)が \(E\)となるので、
$$\begin{eqnarray}
E\phi&=&m\phi+\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{p}\chi\\
E\chi&=&\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{p}\phi-m\chi
\end{eqnarray}$$
の2式となる。それぞれの式で\(\phi\)、\(\chi\) を解けば、ディラック方程式の一般の解は、
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\psi(\boldsymbol{x},t)&=&\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}(c_\boldsymbol{k} u_\boldsymbol{k} e^{i\boldsymbol{k} \cdot\boldsymbol{x}-i\omega_\boldsymbol{k} t}+d_\boldsymbol{k}^* v_\boldsymbol{k}^* e^{-i\boldsymbol{k} \cdot\boldsymbol{x} +i\omega_\boldsymbol{k} t})\\
u_\boldsymbol{k}&=&\left(\begin{array}{c}\phi\\ \frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E+m}\phi\end{array}\right)\\
v_\boldsymbol{k}&=&\left(\begin{array}{c}\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E-m}\chi\\ \chi\end{array}\right)\\
\end{eqnarray}\)}$$
となる。

確率のカレント

ディラック共役\(\bar{\psi}\)を
$$\fbox{\(\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma^0\)}$$
と定義する。また、ディラック方程式のエルミート共役は、
$$\psi^\dagger\{-i\overleftarrow{\partial_\mu}(\gamma^\mu)^\dagger-m\}=0$$
となる。ディラック方程式に\(\bar{\psi}\)を左から掛け、ディラック方程式のエルミート共役に\((\gamma^0)^\dagger\psi\)を右から掛けて
$$\begin{eqnarray}
\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi&=&0\\
\bar{\psi}(-i\overleftarrow{\partial_\mu}\gamma^\mu-m)\psi&=&0((\gamma^0)^\dagger=\gamma^0および(\gamma^\mu)^\dagger=-\gamma^\mu、-\gamma^\mu\gamma^0=\gamma^0\gamma^\muより)
\end{eqnarray}$$
の2式を用意する。両辺を引くと\(m\)の項が消え、
$${\bar{\psi} i\gamma^\mu(\partial_\mu\psi)+(\bar{\psi} i\overleftarrow{\partial_\mu})\gamma^\mu\psi}=0$$
となり、\(i\)で割って、
$$\begin{eqnarray}
{\bar{\psi}\gamma^\mu(\partial_\mu\psi)+(\bar{\psi}\overleftarrow{\partial_\mu})\gamma^\mu\psi}&=&\partial_\mu(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi)\\
&=&(\begin{array}{cc}\partial_t&\boldsymbol{\nabla}\end{array})\left\{\bar{\psi}\left(\begin{array}{c}\gamma^0\\ \boldsymbol{\gamma}\end{array}\right)\psi\right\}\\
&=&\{(\partial_t\bar{\psi})\gamma^0\psi+(\boldsymbol{\nabla}\bar{\psi})\cdot\boldsymbol{\gamma}\psi\}+\{\bar{\psi}\partial_t \gamma^0\psi+\bar{\psi}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\gamma}\psi\}\\
&=&\partial_t(\bar{\psi}\gamma^0\psi)+\boldsymbol{\nabla}\cdot(\bar{\psi}\boldsymbol{\gamma}\psi)\\
&=&0
\end{eqnarray}$$
となる。ここで確率密度\(\rho\)と確率密度のカレント\(\boldsymbol{j}\)を
$$\begin{eqnarray}
\rho&=&\bar{\psi}\gamma^0\psi=\psi^\dagger\psi((\gamma^0)^2=1より)\\
\boldsymbol{j}&=&\bar{\psi}\boldsymbol{\gamma}\psi=\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi(\gamma^0\boldsymbol{\gamma}=\beta\beta\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}より)
\end{eqnarray}$$
と定義すると、確率のカレント\(j^\mu(\rho,\boldsymbol{j})\)の保存則を
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{j}=\partial^\mu j_\mu=0$$
と表すことができる。シュレディンガー方程式の場合と比較すると、\(\rho\)は同じだが、\(\boldsymbol{j}\)は大きく異なっている。(クライン-ゴルドン方程式の時と同様、相対論を取り入れたことで\(\rho\)と\(\boldsymbol{j}\)が対象の形になった)

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