電磁場の方程式

電磁場の方程式

ローレンツゲージ\(\partial_\nu A^\nu=0\)を採用した共変形式のマクスウェル方程式は、

$$\square A^\mu=\nu_0j^\mu$$

であり、真空中は、

$$\square A^\mu=0$$

となる。4成分あるが、式の形は質量が無いクライン-ゴルドン方程式と同じとなっている。以下、このローレンツゲージのマクスウェル方程式で電磁場を考える。

電磁場の方程式の解

電磁ポテンシャル\(A^\mu\)は、4成分あるので、

$$A^\mu=\begin{pmatrix}V\\ \boldsymbol{A}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A^0\\A^1\\A^2\\A^3\end{pmatrix}$$

のように書ける。ここである特定の波数\(\boldsymbol{k}\)の平面波解（運動量の固有関数）を4成分のベクトル\(\varepsilon^\mu(\varepsilon^0,\boldsymbol{\varepsilon})\)を使って

$$A^\mu_\boldsymbol{k}=\varepsilon^\mu_\boldsymbol{k}(a_\boldsymbol{k}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-i\omega_\boldsymbol{k}t}+a^*_\boldsymbol{k}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}+i\omega_\boldsymbol{k} t})$$

のようにおく。電磁ポテンシャル\(A^\mu\)は計測できる物理量なので実数となる。（第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(A^\mu\)は実数となっている）先程の共変形式のマクスウェル方程式\(\square A^\mu=0\)に代入すれば、

\begin{eqnarray}
\square A^\mu&=&(\partial^2_t-\boldsymbol{\nabla}^2)A^\mu\\
&=&(-\omega_\boldsymbol{k}^2+\boldsymbol{k}^2)A^\mu\\
&=&0
\end{eqnarray}

となるので、

$$\omega_\boldsymbol{k}^2=\boldsymbol{k}^2$$

となり、4つの自由度があるように見えたが、\(\omega\)が\(\boldsymbol{k}\)によって決まることから、実際は3つの自由度しか無いのがわかる。したがって、電磁場の方程式の一般の解は、

$$\boxed{A^\mu=\int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}\sum_{\lambda=0,
1,2,3}\varepsilon_{\lambda,\boldsymbol{k}}(a_{\lambda,\boldsymbol{k}}e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-i\omega_\boldsymbol{k}t}+a^* _{\lambda,\boldsymbol{k}}e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}+i\omega_\boldsymbol{k} t})}$$

となる。