電磁ポテンシャルとゲージ変換

電磁ポテンシャル

電場と磁場のポテンシャルを考える。磁場のポテンシャルをベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)として

$$\boldsymbol{B}\equiv\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$$

のように定義する。マクスウェル方程式

$$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

に代入すると、

$$\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0$$

となる。したがって、スカラーポテンシャル\(V\)を

$$\boldsymbol{E}\equiv-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

のように定義すると、\(\mathrm{rot}\cdot\mathrm{grad}\)は\(0\)だから、常に成り立つことがわかる。(このスカラーポテンシャルの式は、静電ポテンシャルを磁場が変化する場合に拡張したものと言える)

ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)とスカラーポテンシャル\(V\)を合わせて電磁ポテンシャルと言い、

$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\boldsymbol{B}&=&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\\
\boldsymbol{E}&=&-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}
\end{eqnarray}\)}$$

で定義される。

ゲージ変換

ポテンシャルは基準値によって不定性がある。実際、任意の関数\(\chi\)を用いて

$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}\)}$$

と変換しても物理は何も変わらない。（電磁ポテンシャルの定義式に代入してみればわかる）このような変換をゲージ変換と言い、ゲージ変換によって物理が変わらないことをゲージ不変と言う。また、ゲージ変換してもマクスウェル方程式はそのまま成り立つので、マクスウェル方程式はゲージ対称性があると言う。