電磁ポテンシャルとゲージ変換

電磁ポテンシャル

電場と磁場のポテンシャルを考える。磁場のポテンシャルをベクトルポテンシャル$\mathit{A}$として

$$\mathit{B}\equiv \mathbf{\nabla }\times \mathit{A}$$

のように定義する。マクスウェル方程式

$$\mathbf{\nabla }\times \mathit{E}=-\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}$$

に代入すると、

$$\mathbf{\nabla }\times (\mathit{E}+\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t})=0$$

となる。したがって、スカラーポテンシャル$V$を

$$\mathit{E}\equiv -\mathbf{\nabla }V-\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}$$

のように定義すると、$\mathrm{rot}\cdot \mathrm{grad}$は$0$だから、常に成り立つことがわかる。(このスカラーポテンシャルの式は、静電ポテンシャルを磁場が変化する場合に拡張したものと言える)

ベクトルポテンシャル$\mathit{A}$とスカラーポテンシャル$V$を合わせて電磁ポテンシャルと言い、

$$\boxed{\begin{array}{rcl}\mathit{B}& =& \mathbf{\nabla }\times \mathit{A}\\ \mathit{E}& =& -\mathbf{\nabla }V-\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}\end{array}}$$

で定義される。

ゲージ変換

ポテンシャルは基準値によって不定性がある。実際、任意の関数$\chi$を用いて

$$\boxed{\begin{array}{rcl}\mathit{A}\to {\mathit{A}}^{\prime }& =& \mathit{A}+\mathbf{\nabla }\chi \\ V\to V^{\prime }& =& V-\frac{\partial \chi }{\partial t}\end{array}}$$

と変換しても物理は何も変わらない。（電磁ポテンシャルの定義式に代入してみればわかる）このような変換をゲージ変換と言い、ゲージ変換によって物理が変わらないことをゲージ不変と言う。また、ゲージ変換してもマクスウェル方程式はそのまま成り立つので、マクスウェル方程式はゲージ対称性があると言う。