電磁場中を運動する荷電粒子

運動方程式

外場である電磁場の影響を受けて運動する電荷$e$の荷電粒子の運動方程式は
$$m\frac{d\mathit{v}}{dt}=e(\mathit{E}+\mathit{v}\times \mathit{B})$$
となる。但し、荷電粒子自身の電磁場は、外場に比べて小さく無視できるとし、外場には影響しないと仮定する。

ラグランジアン

ラグランジュ方程式に代入して、上記の運動方程式が再現されるようなラグランジアンを考えると、ベクトルポテンシャル$\mathit{A}$、スカラーポテンシャル$V$を使って
$$L=\frac{1}{2}m{\dot{\mathit{x}}}^2-eV+e\dot{\mathit{x}}\cdot \mathit{A}$$
となる。実際にラグランジュ方程式にラグラジアンを代入して計算してみると
$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial L}{\partial \mathit{x}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathit{x}}}& =& \{-e\mathbf{\nabla }V+e\mathbf{\nabla }(\mathit{v}\cdot \mathit{A})\}-\frac{d}{dt}(m\mathit{v}+e\mathit{A})\\ & =& -e\mathbf{\nabla }V+e\mathbf{\nabla }(\mathit{v}\cdot \mathit{A})-m\frac{d\mathit{v}}{dt}-e\{\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}+(\mathit{v}\cdot \mathbf{\nabla }\mathit{A})\}（\mathrm{最}\mathrm{後}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{は}、\mathrm{汎}\mathrm{関}\mathrm{数}\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{で}、\frac{d\mathit{A}(\mathit{x},t)}{dt}=\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}\frac{dt}{dt}+\frac{\partial \mathit{A}}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \mathit{A}}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \mathit{A}}{\partial z}\frac{dz}{dt}=\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}+\mathbf{\nabla }\mathit{A}\cdot \mathit{v}\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}）\\ & =& -m\frac{d\mathit{v}}{dt}+e[(-\mathbf{\nabla }V-\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t})+\{\mathbf{\nabla }(\mathit{v}\cdot \mathit{A})-(\mathit{v}\cdot \mathbf{\nabla })\mathit{A}\}]\\ & =& -m\frac{d\mathit{v}}{dt}+e\{(-\mathbf{\nabla }V-\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t})+\mathit{v}\times (\mathbf{\nabla }\times \mathit{A})\}（\mathrm{ベ}\mathrm{ク}\mathrm{ト}\mathrm{ル}\mathrm{の}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{お}\mathrm{よ}\mathrm{び}\mathit{v}\mathrm{は}\mathit{x}\mathrm{に}\mathrm{寄}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{の}\mathrm{で}、\mathbf{\nabla }(\mathit{v}\cdot \mathit{A})=(\mathit{v}\cdot \mathbf{\nabla })\mathit{A}+(\mathit{A}\cdot \mathbf{\nabla })\mathit{v}+\mathit{v}\times (\mathbf{\nabla }\times \mathit{A})+\mathit{A}\times (\mathbf{\nabla }\times \mathit{v})=(\mathit{v}\cdot \mathbf{\nabla })\mathit{A}+\mathit{v}\times (\mathbf{\nabla }\times \mathit{A})\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}）\\ & =& -m\frac{d\mathit{v}}{dt}+e(\mathit{E}+\mathit{v}\times \mathit{B})=0（\mathrm{電}\mathrm{磁}\mathrm{ポ}\mathrm{テ}\mathrm{ン}\mathrm{シ}\mathrm{ャ}\mathrm{ル}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{義}\mathrm{式}\mathrm{よ}\mathrm{り}）\end{array}$$
となり、確かに運動方程式が再現される。

ハミルトニアン

$\mathit{x}$の正準共役量$\mathit{p}$は、
$$\begin{array}{rcl}\mathit{p}& =& \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathit{x}}}\\ & =& m\mathit{v}+e\mathit{A}（\mathrm{単}\mathrm{純}\mathrm{に}m\mathit{v}\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{こ}\mathrm{と}\mathrm{に}\mathrm{注}\mathrm{意}）\end{array}$$
となる。ルジャンドル変換より
$$\begin{array}{rcl}H& =& \mathit{p}\cdot \dot{\mathit{x}}-L\\ & =& (m\mathit{v}+e\mathit{A})\cdot \mathit{v}-(\frac{1}{2}m{\mathit{v}}^2-eV+e\mathit{v}\cdot \mathit{A})\\ & =& \frac{1}{2}m{\mathit{v}}^2+eV\end{array}$$
であるから、$\mathit{p}=m\mathit{v}+e\mathit{A}$の$\mathit{v}$を解いて代入すると
$$\boxed{H=\frac{1}{2m}(\mathit{p}-e\mathit{A}{)}^2+eV}$$
となる。