複素スカラー場の量子化

反粒子

実スカラー場の量子化を参考に複素スカラー場の量子化を考える。複素スカラー場になると実部と虚部の自由度が1つ増える。結論から言うと、それにより、粒子と反粒子が表現される。

粒子と反粒子は、スピンや質量が同じで、電荷の符号が逆となる。粒子と反粒子が衝突すると消滅してエネルギーに代わり（対消滅）、ある条件でエネルギーを与えると、粒子と反粒子が生成される（対生成）。

この事から、複素スカラー場は、エネルギーの計算では足し算に、個数の計算では引き算になるような2種類の粒子の個数演算子を含んでいる。

ちなみに反粒子の重力は、一般の粒子と同じ向きに働きます。実験で証明されたようです。（詳しくはこちら）

複素スカラー場の量子化

クライン-ゴルドン方程式を満たす複素スカラー場の量子化は、実スカラー場の量子化を参考に
$ϕ (x, t) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2 ω_{k}}} (a_{k} e^{- i k \cdot x} + b_{k}^{†} e^{i k \cdot x})$
となる。また、その複素共役
$ϕ^{†} (x, t) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2 ω_{k}}} (a_{k}^{†} e^{i k \cdot x} + b_{k} e^{- i k \cdot x})$
も同様にクライン-ゴルドン方程式を満たす。この時、 $a$ 、 $b$ がそれぞれ粒子、反粒子の生成・消滅演算子となっているのであるが、その妥当性については後ほど議論する。

ラグランジアン密度

場のラグランジュ方程式に代入すると、クライン-ゴルドン方程式（波動方程式）が再現され、且つ、ラグランジアンが実数になるように考えると、
$L = \partial_{μ} ϕ^{†} \partial^{μ} ϕ - m^{2} ϕ^{†} ϕ$
となる。実際に計算してみると
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial L}{\partial ϕ} - \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} & = & - m^{2} ϕ^{†} - ϕ^{†} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial ϕ^{†}} - \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ^{†})} & = & - m^{2} ϕ - ϕ = 0 \end{array}$
となり、確かにクライン-ゴルドン方程式が導かれる。 $ϕ$ の微分で $ϕ^{†}$ の式が求まる（もしくはその逆）のは、 $ϕ$ と $ϕ^{†}$ が同じ2つの粒子を表しており、粒子と反粒子の違いはあくまで $a$ 、 $b$ の違いからくることに注意する。

$ϕ$ に正準共役の運動量

ラグランジアン密度より、 $ϕ$ に正準共役の運動量を求めると
$\begin{array}{rcl} π & = & \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} \\ = & \frac{\partial}{\partial \dot{ϕ}} ({\dot{ϕ}}^{†} \dot{ϕ} - \nabla ϕ^{†} \nabla ϕ - m^{2} ϕ^{†} ϕ) \\ = & {\dot{ϕ}}^{†} \end{array}$

となり、同様に

$π^{†} = \dot{ϕ}$
となる。

2つの粒子

ここで、2つの粒子であることを明確とするため、2つの実スカラー場 $ϕ_{1}$ と $ϕ_{2}$ を使って、 $ϕ$ を実部と虚部に分けて
$\begin{array}{rcl} ϕ & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{1} - i ϕ_{2}) \\ ϕ^{†} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{1} + i ϕ_{2}) \end{array}$
と置く。見方を変えれば、ちょうど複素平面上で45度回転する変換
$(\begin{matrix} ϕ \\ ϕ^{†} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 45^{\circ} & - \sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ_{1} \\ i ϕ_{2} \end{matrix})$
となっており、変換前後、つまり $ϕ_{1}$ 、 $ϕ_{2}$ と $ϕ^{†}$ 、 $ϕ$ で波の形（実際の物理）は変わらない。 $ϕ_{1}$ 、 $ϕ_{2}$ を使うと、ラグランジアンは
$\begin{array}{rcl} L & = & \partial_{μ} {\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{1} + i ϕ_{2})} \partial^{μ} {\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{1} - i ϕ_{2})} - m^{2} {\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{1} + i ϕ_{2})} {\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{1} - i ϕ_{2})} \\ = & \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ_{1} \partial^{μ} ϕ_{1} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ_{2} \partial^{μ} ϕ_{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{2}^{2} \end{array}$
となり、ちょうど、2つの実スカラー場の合計となっていることがわかる。また、先ほど同様に実際にラグランジアンを代入して計算してみると
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial L}{\partial ϕ_{1}} - \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{1})} & = & \frac{\partial}{\partial ϕ_{1}} {\frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{1})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{2})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{2}^{2}} - \partial_{μ} \frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{1})} {\frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{1})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{2})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{2}^{2}} \\ = & - m^{2} ϕ_{1} - □ ϕ_{1} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial ϕ_{2}} - \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{2})} & = & \frac{\partial}{\partial ϕ_{2}} {\frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{1})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{2})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{2}^{2}} - \partial_{μ} \frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{2})} {\frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{1})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ_{2})^{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{2}^{2}} \\ = & - m^{2} ϕ_{2} - □ ϕ_{2} = 0 \end{array}$
となり、確かに2つのクライン-ゴルドン方程式が導出される。以上より、複素スカラー場は、実部と虚部の自由度によって異なる2種類の粒子を含むことがわかる。

ハミルトニアン

最初に複素数のルジャンドル変換を考える。一般的な解析力学と同様に

\begin{array}{rcl} δ L (\dot{ϕ}, {\dot{ϕ}}^{†}) & = & \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}} δ \dot{ϕ} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{†}} δ {\dot{ϕ}}^{†} = π δ ϕ + π^{†} δ {\dot{ϕ}}^{†} \\ δ H (π, π^{†}) & = & \frac{\partial H}{\partial π} δ π + \frac{\partial H}{\partial π^{†}} δ π^{†} = ϕ δ π + ϕ^{†} δ {\dot{π}}^{†} \end{array}

と定義し、両辺を足すと

δ (L + H) = δ (π ϕ) + δ (π^{†} {\dot{ϕ}}^{†})

となるので、ルジャンドル変換より、
$\begin{array}{rcl} H & = & π^{†} {\dot{ϕ}}^{†} + π \dot{ϕ} - L \\ = & π^{†} π + {\dot{ϕ}}^{†} \dot{ϕ} - (\partial_{μ} ϕ^{†} \partial^{μ} ϕ - m^{2} ϕ^{†} ϕ) \\ = & π^{†} π + {\dot{ϕ}}^{†} \dot{ϕ} - ({\dot{ϕ}}^{†} \dot{ϕ} - \nabla ϕ^{†} \nabla ϕ - m^{2} ϕ^{†} ϕ) \end{array}$
となるから、ハミルトニアンは、
$H = \int d x^{3} (π^{†} π + \nabla ϕ^{†} \nabla ϕ + m^{2} ϕ^{†} ϕ)$
となる。（ハミルトニアンの変数に $\dot{ϕ}$ 、 ${\dot{ϕ}}^{†}$ は含まない）また、ラグランジアンは $ϕ_{1}$ と $ϕ_{2}$ の2種類の粒子の合計なので、ハミルトニアンは
$\begin{array}{rcl} H & = & \int d^{3} x (π_{1} \dot{ϕ_{1}} + π_{2} \dot{ϕ_{2}} - L) \\ = & \int d^{3} k ω_{k} (a_{1 k}^{†} a_{1 k} + a_{2 k}^{†} a_{2 k}) （実スカラー場と同じ計算なので途中式は省略） \end{array}$
となる。ここで
$\begin{array}{rcl} a & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (a_{1} - i a_{2}) \\ b & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (a_{1} + i a_{2}) \end{array}$
なので、
$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} (a + b) \\ a_{2} & = & \frac{i}{\sqrt{2}} (a - b) \end{array}$
となる。従って、
$H = \int d^{3} k ω_{k} {\frac{1}{\sqrt{2}} (a_{k}^{†} + b_{k}^{†}) \frac{1}{\sqrt{2}} (a_{k} + b_{k}) + \frac{- i}{\sqrt{2}} (a_{k}^{†} - b_{k}^{†}) \frac{i}{\sqrt{2}} (a_{k} - b_{k})}$
となるから、
$H = \int d^{3} k ω_{k} (a_{k}^{†} a_{k} + b_{k}^{†} b_{k})$
となる。エネルギーの計算では、2種類の粒子の個数演算子は足し算となっている。

個数演算子

クライン-ゴルドン方程式で定義した内積を使って、 $ϕ$ と $ϕ^{†}$ の内積 $N$ を計算してみると、
$\begin{array}{rcl} N & = & i \int d^{3} x {ϕ^{†} \frac{\partial}{\partial t} ϕ - (\frac{\partial}{\partial t} ϕ^{†}) ϕ} \\ = & i \int d^{3} x \iint \frac{d^{3} k^{'} d^{3} k}{(2 π)^{3}} {- \sqrt{\frac{1}{2 ω^{'}}} \sqrt{\frac{ω}{2}} i (a^{' †} e^{i k^{'} x} + b^{'} e^{- i k^{'} x}) (- a e^{- i k x} + b^{†} e^{i k x}) + \sqrt{\frac{ω^{'}}{2}} i \sqrt{\frac{1}{2 ω}} (a^{' †} e^{i k^{'} x} - b^{'} e^{- i k^{'} x}) (a e^{- i k x} + b^{†} e^{i k x})} \\ = & \int d^{3} x \iint \frac{d^{3} k^{'} d^{3} k}{(2 π)^{3}} [- \frac{1}{2} \sqrt{\frac{ω}{ω^{'}}} {- a^{' †} a e^{- i (k^{'} x - ω^{'} t) + i (k x - ω t)} + a^{' †} b^{†} e^{- i (k^{'} x - ω^{'} t) - i (k x - ω t)} - b^{'} a e^{i (k^{'} x - ω^{'} t) + i (k x - ω t)} + b^{'} b^{†} e^{i (k^{'} x - ω^{'} t) - i (k x - ω t)}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{ω^{'}}{ω}} {a^{' †} a e^{- i (k^{'} x - ω^{'} t) + i (k x - ω t)} + a^{' †} b^{†} e^{- i (k^{'} x - ω^{'} t) - i (k x - ω t)} - b^{'} a e^{i (k^{'} x - ω^{'} t) + i (k x - ω t)} - b^{'} b^{†} e^{i (k^{'} x - ω^{'} t) - i (k x - ω t)}}] \\ = & \frac{1}{2} \iint d^{3} k^{'} d^{3} k [\sqrt{\frac{ω}{ω^{'}}} {δ (- k^{'} + k) a^{' †} a e^{i (ω^{'} - ω) t} - δ (- k^{'} - k) a^{' †} b^{†} e^{i (ω^{'} + ω) t} + δ (k^{'} + k) b^{'} a e^{- i (ω^{'} + ω) t} - δ (k^{'} - k) b^{'} b^{†} e^{- i (ω^{'} - ω) t}} + \sqrt{\frac{ω^{'}}{ω}} {δ (- k^{'} + k) a^{' †} a e^{i (ω^{'} - ω) t} + δ (- k^{'} - k) a^{' †} b^{†} e^{i (ω^{'} + ω) t} - δ (k^{'} + k) b^{'} a e^{- i (ω^{'} + ω) t} - δ (k^{'} - k) b^{'} b^{†} e^{- i (ω^{'} - ω) t}}] \\ = & \frac{1}{2} \int d^{3} k (a^{†} a - a^{' †} b^{†} e^{2 i ω t} + b^{'} a e^{- 2 i ω t} - b b^{†} + a^{†} a + a^{' †} b^{†} e^{2 i ω t} - b^{'} a e^{- 2 i ω t} - b b^{†}) \\ = & \int d^{3} k (a^{†} a - b b^{†}) \end{array}$
となり、 $b b^{†}$ の交換関係より、定数項を削除して
$N = \int d^{3} k (a_{k}^{†} a_{k} - b_{k}^{†} b_{k})$
となる。量子力学では状態ベクトルの内積は確率を表し、その確率は保存量となるから、ここで求めた演算子 $N$ の固有値も保存量であり、式の内容から、 $N$ は場の個数演算子と考えられる。個数の計算では、2種類の粒子の個数演算子は引き算となっている。

反粒子

複素スカラー場の量子化

ラグランジアン密度

ϕに正準共役の運動量

2つの粒子

ハミルトニアン

個数演算子

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$ϕ$ に正準共役の運動量

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