パイ中間子の光子の吸収

パイ中間子が光子を吸収するときの確率振幅を求めます。

計算の準備

確率振幅の計算方法

確率振幅${\mathcal{A}}_{fi}$の一次の摂動計算は、

$$\boxed{{\displaystyle {\mathcal{A}}_{fi}=-i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{d}^{4}x⟨f(t_i)|{\mathcal{H}}_I(x)|i(t_i)⟩}}$$

であるから、まずは相互作用項${\mathcal{H}}_I$と始状態$|i⟩$、終状態$⟨f|$を考える。

ハミルトニアンの相互作用項

パイ中間子は複素スカラー場で表される。電磁場と相互作用する複素スカラー場のハミルトニアンは、

$${\mathcal{H}}_I=ie\{{\varphi }^{†}{\partial }^{\mu }\varphi -({\partial }^{\mu }{\varphi }^{†})\varphi \}{A}_{\mu }+e^2{A}_{\mu }{A}^{\mu }{\varphi }^{†}\varphi$$

となる。ここで微細構造定数$\alpha$

$$\alpha =\frac{e^2}{4\pi }\fallingdotseq \frac{1}{137}$$

を考えると、$\alpha$は実験で無視できるぐらい小さいので、$e^2$の項も無視できる。したがって、

$${\mathcal{H}}_I=ie\{{\varphi }^{†}{\partial }^{\mu }\varphi -({\partial }^{\mu }{\varphi }^{†})\varphi \}{A}_{\mu }$$

となる。$ie\{{\varphi }^{†}{\partial }^{\mu }\varphi -({\partial }^{\mu }{\varphi }^{†})\varphi \}$の部分は、確率のカレント$i\{{\varphi }^{†}{\partial }^{\mu }\varphi -({\partial }^{\mu }{\varphi }^{†})\varphi \}$と電荷$e$の積となっており、電荷の流れ（遷移電流）と考えることができる。遷移電流を$j^{\mu }$とすると

$${\mathcal{H}}_I=j^{\mu }{A}_{\mu }$$

となる。

場の展開式と始状態・終状態

場の展開式は、

$$\begin{array}{rcl}\varphi & =& \int \frac{d^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{\mathit{p}}}}(a_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{-ip\cdot x}+b_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{ip\cdot x})\\ A^{\mu }& =& \int \frac{d^3\mathit{k}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{\mathit{k}}}}\sum _{\lambda =1,2}({\epsilon }_{\lambda ,\mathit{k}}^{\mu }{\alpha }_{\lambda ,\mathit{k}}{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}+{\epsilon }_{\lambda ,\mathit{k}}^{\mu \ast }{\alpha }_{\lambda ,\mathit{k}}^{†}{\mathrm{e}}^{ik\cdot x})\end{array}$$

であるから、始状態と終状態は、

$$\begin{array}{rcl}|i⟩& =& a_{{\mathit{p}}_i}^{†}{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩\\ ⟨f|& =& ⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}\end{array}$$

となる。

代入

一次の摂動の確率振幅は、

$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{fi}& =& -i\int d{x}^4⟨f|{\mathcal{H}}_I|i⟩\\ & =& -i\int d^{4}x⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}{j}^{\mu }{A}_{\mu }{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩\\ & =& -i\int d^{4}x⟨0|A_{\mu }{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}{j}^{\mu }{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩\end{array}$$

となり、光子とパイ中間子が式の中で分かれる。

確率振幅の計算

光子

$⟨0|A_{\mu }{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩$の計算を考える。左から$⟨0|$を掛けているので、$A_{\mu }$内の${\alpha }^{†}$はすべて0になり、右から${\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩$を掛けているので、${\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}$と交換できる$\alpha$のみ0になる。つまり、

$$\begin{array}{rcl}⟨0|A_{\mu }{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}& =& \int \frac{d^3\mathit{k}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{\mathit{k}}}}\sum _{\lambda =1,2}{\epsilon }_{\lambda ,\mathit{k},\mu }⟨0|{\alpha }_{\lambda ,\mathit{k}}{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}\\ & =& \int \frac{d^3\mathit{k}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{\mathit{k}}}}\sum _{\lambda =1,2}{\epsilon }_{\lambda ,\mathit{k},\mu }⟨0|\{{\alpha }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}^{†}{\alpha }_{\lambda ,\mathit{k}}+\delta (\mathit{k}-{\mathit{k}}_i,\lambda -{\lambda }_i)\}|0⟩{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}\\ & =& \int \frac{d^3\mathit{k}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{\mathit{k}}}}\sum _{\lambda =1,2}{\epsilon }_{\lambda ,\mathit{k},\mu }⟨0|\delta (\mathit{k}-{\mathit{k}}_i,\lambda -{\lambda }_i)|0⟩{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}\\ & =& \frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{{\mathit{k}}_i}}}{\epsilon }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i,\mu }⟨0|0⟩{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}\\ & =& \frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{{\mathit{k}}_i}}}{\epsilon }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i,\mu }{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}\end{array}$$

となる。

パイ中間子

$⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}{j}^{\mu }{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩$の計算を考える。$j^{\mu }$は、

$$\begin{array}{rcl}ie({\varphi }^{†}{\partial }^{\mu }\varphi -({\partial }^{\mu }{\varphi }^{†})\varphi )& =& ie[\{\int \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}}}(a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{\mathrm{e}}^{i{p}^{\prime }\cdot x}+b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{\mathrm{e}}^{-i{p}^{\prime }\cdot x})\}\{\int \frac{d^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{\mathit{p}}}}i{p}^{\mu }(-a_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{-ip\cdot x}+b_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{ip\cdot x})\}-\{\int \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}}}i{p}^{\prime \mu }(a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{\mathrm{e}}^{i{p}^{\prime }\cdot x}-b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{\mathrm{e}}^{-i{p}^{\prime }\cdot x})\}\{\int \frac{d^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{\mathit{p}}}}(a_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{-ip\cdot x}+b_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{ip\cdot x})\}]\\ & =& ie\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}\{i{p}^{\mu }(-a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{a}_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }-p)\cdot x}+a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{b}_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }+p)\cdot x}-b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{a}_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }-p)\cdot x}+b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{b}_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }+p)\cdot x})-i{p}^{\prime \mu }(a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{a}_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }-p)\cdot x}+a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{b}_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }+p)\cdot x}-b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{a}_{\mathit{p}}{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }-p)\cdot x}-b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{b}_{\mathit{p}}^{†}{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }+p)\cdot x})\}\end{array}$$

となり、演算子のペアの項が8つある。左から$⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}$を掛け、右から$a_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩$を掛けて、生成消滅演算子の交換関係と真空条件を使って項を減らすことを考える。1項目を計算してみると、

$$\begin{array}{rcl}ie\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}i{p}^{\mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}(-a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{a}_{\mathit{p}})a_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }-p)\cdot x}& =& e\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|\{a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_f}+\delta ({\mathit{p}}^{\prime }-{\mathit{p}}_f)\}\{a_{{\mathit{p}}_i}^{†}{a}_{\mathit{p}}+\delta ({\mathit{p}}_i-\mathit{p})\}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }-p)\cdot x}\\ & =& e\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|\delta ({\mathit{p}}^{\prime }-{\mathit{p}}_f)\delta ({\mathit{p}}_i-\mathit{p})|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }-p)\cdot x}\\ & =& e\frac{1}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{{\mathit{p}}_i}}}{p}_i^{\mu }⟨0|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p_f-p_i)\cdot x}\\ & =& e\frac{1}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{{\mathit{p}}_i}}}{p}_i^{\mu }{\mathrm{e}}^{i(p_f-p_i)\cdot x}\end{array}$$

となり、同様の計算で5項目は

$$-ie\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}i{p}^{\prime \mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}(a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{a}_{\mathit{p}})a_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }-p)\cdot x}=e\frac{1}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{{\mathit{p}}_i}}}{p}_f^{\mu }{\mathrm{e}}^{i(p_f-p_i)\cdot x}$$

となる。2項目は

$$\begin{array}{rcl}ie\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}i{p}^{\mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}(a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{b}_{\mathit{p}}^{†})a_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }+p)\cdot x}& =& -e\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|\{a_{{\mathit{p}}^{\prime }}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_f}+\delta ({\mathit{p}}^{\prime }-{\mathit{p}}_f)\}{b}_{\mathit{p}}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }+p)\cdot x}\\ & =& -e\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|\delta ({\mathit{p}}^{\prime }-{\mathit{p}}_f)b_{\mathit{p}}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p^{\prime }+p)\cdot x}\\ & =& -e\int \frac{d^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|b_{\mathit{p}}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(p_f+p)\cdot x}\\ & =& 0\end{array}$$

となり、同様の計算で3項目、6項目、7項目も0になる。4項目は、

$$\begin{array}{rcl}ie\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}i{p}^{\mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}(b_{{\mathit{p}}^{\prime }}{b}_{\mathit{p}}^{†})a_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }+p)\cdot x}& =& -e\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}\{b_{\mathit{p}}^{†}{b}_{{\mathit{p}}^{\prime }}+\delta ({\mathit{p}}^{\prime }-\mathit{p})\}{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }+p)\cdot x}\\ & =& -e\iint \frac{d^3{\mathit{p}}^{\prime }{d}^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}^{\prime }}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }\{⟨0|b_{\mathit{p}}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_f}{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}{b}_{{\mathit{p}}^{\prime }}|0⟩+⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}\delta ({\mathit{p}}^{\prime }-\mathit{p})a_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩\}{\mathrm{e}}^{i(-p^{\prime }+p)\cdot x}\\ & =& -e\int \frac{d^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩\\ & =& -e\int \frac{d^3\mathit{p}}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{\mathit{p}}}}{p}^{\mu }⟨0|a_{{\mathit{p}}_i}^{†}{a}_{{\mathit{p}}_f}|0⟩\\ & =& 0\end{array}$$

となり、同様の計算で8項目も0になる。したがって、1項目と5項目だけが残るので、

$$\begin{array}{rcl}⟨0|a_{{\mathit{p}}_f}{j}^{\mu }{a}_{{\mathit{p}}_i}^{†}|0⟩& =& e\frac{1}{(2\pi {)}^3}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}2E_{{\mathit{p}}_i}}}(p_f+p_i{)}^{\mu }{\mathrm{e}}^{i(p_f-p_i)\cdot x}\end{array}$$

となる。

確率振幅

係数を

$$\begin{array}{rcl}{N}_k& =& \frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2{\omega }_{{\mathit{k}}_i}}}\\ N_f& =& \frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_f}}}\\ N_i& =& \frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2E_{{\mathit{p}}_i}}}\end{array}$$

とすると、確率振幅は、

$$\begin{array}{rcl}{\mathcal{A}}_{fi}& =& -ie{N}_{p_f}{N}_{p_i}{N}_{k_i}(p_f+p_i{)}^{\mu }{\epsilon }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i,\mu }\int d^{4}x{\mathrm{e}}^{i(p_f-p_i)\cdot x}{\mathrm{e}}^{-ik\cdot x}\\ & =& -ie{N}_{p_f}{N}_{p_i}{N}_{k_i}(p_f+p_i)\cdot {\epsilon }_{{\lambda }_i,{\mathit{k}}_i}(2\pi {)}^4\delta (p_f-p_i-k)\end{array}$$

となる。デルタ関数はエネルギー保存則を表している。