量子力学でのゲージ理論

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電磁場と相互作用する量子力学

古典力学において、電磁場中を運動する荷電粒子のハミルトニアンは、自然単位系(\(c=\hbar=1\))で
$$H=\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{A}\right)^2+qV$$
となるので、量子力学のいつもの演算子の書き換え
$$\begin{eqnarray}
E&→&i\frac{\partial}{\partial t}\\
\boldsymbol{p}&→&-i\boldsymbol{\nabla}
\end{eqnarray}$$
を行うと、
$$\left(i\frac{\partial}{\partial t}-qV\right)\psi=\frac{1}{2m}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})^2\psi$$
となる。ここで、自由粒子のシュレディンガー方程式
$$i\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi$$
と比べると、量子力学において、電磁場中の荷電粒子の運動を記述する場合は、演算子を
$$\boxed{\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow D&\equiv&\frac{\partial}{\partial t}+iqV\\
\boldsymbol{\nabla}\rightarrow \boldsymbol{D}&\equiv&\boldsymbol{\nabla}-iq\boldsymbol{A}
\end{eqnarray}}$$
と書き換えれば良いことがわかる。このような書き換えを共変微分と言い、1926年にシュレディンガーによって示された。

量子力学のゲージ変換

上記で求めた電磁場を含む波動方程式は、ゲージ変換
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}$$
が適用できる筈である。(もしそうでないのなら、量子力学では電磁ポテンシャルの性質が変わってしまう)ただし、そのままゲージ変換しても式は成り立たない。結論から書くと、波動関数も
$$\psi\rightarrow\psi’=e^{iq\chi}\psi$$
の様に変換を受ける。ちなみに\(\chi\)は、\(\boldsymbol{x}\)と\(t\)の関数である。この変換では、位相が変わるだけなので、各時空点毎には、実際の物理は変わらない。ゲージ変換とあわせて波動方程式に適用してみると、
$$\left\{i\frac{\partial}{\partial t}-q\left(V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)\right\}e^{iq\chi}\psi=\frac{1}{2m}\{-i\boldsymbol{\nabla}-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)\}^2e^{iq\chi}\psi$$
となり、さらに
$$\begin{eqnarray}
左辺&=&-qe^{iq\chi}\frac{\partial \chi}{\partial t}\psi+ie^{iq\chi}\frac{\partial}{\partial t}\psi-q\left(V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)e^{iq\chi}\psi\\
&=&e^{iq\chi}\left(i\frac{\partial}{\partial t}-qV\right)\psi\\
右辺&=&\frac{1}{2m}\{-i\boldsymbol{\nabla}-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)\}\{qe^{iq\chi}(\boldsymbol{\nabla}\chi)\psi-ie^{iq\chi}\boldsymbol{\nabla}\psi-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)e^{iq\chi}\psi\}\\
&=&\frac{1}{2m}\{-i\boldsymbol{\nabla}-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)\}e^{iq\chi}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})\psi\\
&=&\frac{1}{2m}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})^2e^{iq\chi}\psi
\end{eqnarray}$$
となるので、ゲージ変換後の波動方程式は、
$$\left(i\frac{\partial}{\partial t}-qV\right)\psi’=\frac{1}{2m}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})^2\psi’$$
となる。期待した通り、変換前と同じ物理を表す式となっている。以上、まとめると、量子力学でのゲージ変換は、
$$\boxed{\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\\
\psi\rightarrow\psi’&=&e^{iq\chi} \psi
\end{eqnarray}}$$
となる。

ゲージ理論

すべての時空点において同じ変換が行われる場合、例えば平行移動や回転に対して、物理法則は変わらない。当たり前のことだが、このようにすべての時空点を一斉に変換することを大局的変換と言う。量子力学では、全体の位相を一斉に回転させても何も変化は無いので、これも大局的変換の一種である。それに対して、ゲージ変換で行われる
$$\psi\rightarrow\psi’=e^{iq\chi}\psi$$
は、\(\chi(\boldsymbol{x},t)\)であるから、ある時空点の位相のみを変換してしまい、この変換だけを行った場合、時空全体の物理の式は変わってしまう。このようにある時空点のみ変換することを局所的変換と言う。それでは、どうすればこのような局所的変換のもとでも物理法則を不変に保つことができるだろうか?これは先程の議論を逆転し、ゲージ変換
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}$$
を行えば良いということなる。このように局所的変換においても、物理法則が成り立つように相互作用の力が導入されているという考え方をケージ理論と言う。

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