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基底
3次元空間のベクトル\(\boldsymbol{x}(x_1,x_2,x_3)\)は、単位ベクトル\(\boldsymbol{e}_1(1,0,0)\)、\(\boldsymbol{e}_2(0,1,0)\)、\(\boldsymbol{e}_3(0,0,1)\)を使って、
$$\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e_1}+x_2\boldsymbol{e_2}+x_3\boldsymbol{e_3}
=x_1\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)
+x_2\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)
+x_3\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}\right)
$$
と表される。このような単位ベクトルを基底と言う。基底は大きさ\(1\)で互いに直交している。大きさが\(1\)のベクトルを正規化されていると言い、基底の集まりを正規直交系と言う。
線形変換
ベクトルの長さや向きを変える変換を線形変換（もしくは1次変換）と言う。線形変換により、\(\boldsymbol{x}(x_1,x_2,x_3)\)から\(\boldsymbol{x}'(x’_1,x’_2,x’_3)\)に変換されるとき、この演算を
$$\boldsymbol{x}’=A\boldsymbol{x}$$
と表す。\(A\)を演算子（数学では線形作用素）と言い、行列で書くと
$$\left(\begin{array}{c}
x’_1\\
x’_2\\
x’_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}\right)$$
となる。また、線形変換には元に戻すような逆変換が必ずあり、
$$\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{x}’$$
と表す。元々の式より
$$\boldsymbol{x}’=A\boldsymbol{x}=AA^{-1}\boldsymbol{x}’$$
となり、
$$AA^{-1}=\boldsymbol{E}$$
である。
内積（スカラー積）
なす角\(\theta\)の2つのベクトルの内積を
$$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{x}’=\boldsymbol{x}^t\boldsymbol{x}’=\left(\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x’_1\\
x’_2\\
x’_3
\end{array}\right)
=x_1x’_1+x_2x’_2+x_3x’_3=x\cdot x’\cos\theta$$
で定義する。定義より、直交しているベクトルの内積は\(0\)になる。自分自身との内積はノルムと呼ばれ、ベクトルの長さの2乗に等しい。また、基底の内積は、
$$\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j=\delta_{ij}$$
の関係があり、正規直交性を表している。
要素
ベクトルや行列の中の数を要素と言う。ベクトル\(\boldsymbol{x}\)のベクトル要素は、
$$x_i=\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{x}（例：x_1=
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}\right)）$$
で求まる。また、演算子\(A\)の行列要素は、
$$a_{ij}=\boldsymbol{e}_i\cdot A\boldsymbol{e}_j（例：a_{12}
=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)）$$
で求まる。
座標変換
基底の変換
基底\(\boldsymbol{e}_1\)、\(\boldsymbol{e}_2\)、\(\boldsymbol{e}_3\)の系から基底\(\boldsymbol{e}’_1\)、\(\boldsymbol{e}’_2\)、\(\boldsymbol{e}’_3\)の系に座標変換することを考える。例えば、変換前の基底\(\boldsymbol{e}_1\)の行列要素を変換後の基底で表せば、
$$\boldsymbol{e}_1
=\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_1\\
\boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_1\\
\boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_1
\end{array}\right)=\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}’_1+\boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}’_2+\boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}’_3$$
となるから、基底は
$$\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}_1\\
\boldsymbol{e}_2\\
\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_1\\
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_2\\
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_3 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_3 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}’_1\\
\boldsymbol{e}’_2\\
\boldsymbol{e}’_3
\end{array}\right)$$
のように変換される。
ベクトルの座標変換
あるベクトル\(\boldsymbol{x}\)について、座標変換の前と後のそれぞれの基底で表し、上記の基底の座標変換を適用すると
$$\boldsymbol{x}
=\left(\begin{array}{ccc}
x’_1 & x’_2 & x’_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}’_1\\
\boldsymbol{e}’_2\\
\boldsymbol{e}’_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}_1\\
\boldsymbol{e}_2\\
\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_1\\
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_2\\
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_3 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_3 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}’_1\\
\boldsymbol{e}’_2\\
\boldsymbol{e}’_3
\end{array}\right)$$
となる。2番目と4番目を比較すると、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標変換は
$$\left(\begin{array}{c}
x’_1\\
x’_2\\
x’_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_1\cdot\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_2\cdot\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_1 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_2 & \boldsymbol{e}’_3\cdot\boldsymbol{e}_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}\right)$$
となることがわかる。座標変換を表す演算子を\(T\)とすると、
$$\boldsymbol{x}(x’)=T\boldsymbol{x}(x)$$
となる。同様に、逆変換は、
$$\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}’_1 & \boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}’_2 & \boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}’_3\\
\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}’_1 & \boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}’_2 & \boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}’_3\\
\boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}’_1 & \boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}’_2 & \boldsymbol{e}_3\cdot\boldsymbol{e}’_3
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x’_1\\
x’_2\\
x’_3
\end{array}\right)$$
となる。よく見ると、逆変換は行と列を入れ替えた転置行列\(\tilde{T}=T^{-1}\)となっている。したがって、逆変換の性質から
$$T\tilde{T}=TT^{-1}=E$$
である。
演算子の座標変換
$$\begin{eqnarray}
T\boldsymbol{x}’&=&T(A\boldsymbol{x})\\
&=&TAT^{-1}T\boldsymbol{x}
\end{eqnarray}$$
より、演算子の座標変換は、
$$A’=TAT^{-1}$$
となる。
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