ベクトル空間

基底

3次元空間のベクトル $x (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ は、単位ベクトル $e_{1} (1, 0, 0)$ 、 $e_{2} (0, 1, 0)$ 、 $e_{3} (0, 0, 1)$ を使って、
$x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} = x_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + x_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + x_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$
と表される。このような単位ベクトルを基底と言う。基底は大きさ $1$ で互いに直交している。大きさが $1$ のベクトルを正規化されていると言い、基底の集まりを正規直交系と言う。

線形変換

ベクトルの長さや向きを変える変換を線形変換（もしくは1次変換）と言う。線形変換により、 $x (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ から $x^{'} (x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, x_{3}^{'})$ に変換されるとき、この演算を
$x^{'} = A x$
と表す。 $A$ を演算子（数学では線形作用素）と言い、行列で書くと
$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) (\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})$
となる。また、線形変換には元に戻すような逆変換が必ずあり、
$x = A^{- 1} x^{'}$
と表す。元々の式より
$x^{'} = A x = A A^{- 1} x^{'}$
となり、
$A A^{- 1} = E$
である。

内積（スカラー積）

なす角 $θ$ の2つのベクトルの内積を
$x \cdot x^{'} = x^{t} x^{'} = (\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array}) (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix}) = x_{1} x_{1}^{'} + x_{2} x_{2}^{'} + x_{3} x_{3}^{'} = x \cdot x^{'} \cos θ$
で定義する。定義より、直交しているベクトルの内積は $0$ になる。自分自身との内積はノルムと呼ばれ、ベクトルの長さの2乗に等しい。また、基底の内積は、
$e_{i} \cdot e_{j} = δ_{i j}$
の関係があり、正規直交性を表している。

要素

ベクトルや行列の中の数を要素と言う。ベクトル $x$ のベクトル要素は、
$x_{i} = e_{i} \cdot x （例： x_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) ）$
で求まる。また、演算子 $A$ の行列要素は、
$a_{i j} = e_{i} \cdot A e_{j} （例： a_{12} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{array}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ）$
で求まる。

座標変換

基底の変換

基底 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ の系から基底 $e_{1}^{'}$ 、 $e_{2}^{'}$ 、 $e_{3}^{'}$ の系に座標変換することを考える。例えば、変換前の基底 $e_{1}$ の行列要素を変換後の基底で表せば、
$e_{1} = (\begin{matrix} e_{1}^{'} \cdot e_{1} \\ e_{2}^{'} \cdot e_{1} \\ e_{3}^{'} \cdot e_{1} \end{matrix}) = e_{1}^{'} \cdot e_{1} e_{1}^{'} + e_{2}^{'} \cdot e_{1} e_{2}^{'} + e_{3}^{'} \cdot e_{1} e_{3}^{'}$
となるから、基底は
$(\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} e_{1}^{'} \cdot e_{1} & e_{2}^{'} \cdot e_{1} & e_{3}^{'} \cdot e_{1} \\ e_{1}^{'} \cdot e_{2} & e_{2}^{'} \cdot e_{2} & e_{3}^{'} \cdot e_{2} \\ e_{1}^{'} \cdot e_{3} & e_{2}^{'} \cdot e_{3} & e_{3}^{'} \cdot e_{3} \end{array}) (\begin{matrix} e_{1}^{'} \\ e_{2}^{'} \\ e_{3}^{'} \end{matrix})$
のように変換される。

ベクトルの座標変換

あるベクトル $x$ について、座標変換の前と後のそれぞれの基底で表し、上記の基底の座標変換を適用すると
$x = (\begin{array}{ccc} x_{1}^{'} & x_{2}^{'} & x_{3}^{'} \end{array}) (\begin{matrix} e_{1}^{'} \\ e_{2}^{'} \\ e_{3}^{'} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array}) (\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array}) (\begin{array}{ccc} e_{1}^{'} \cdot e_{1} & e_{2}^{'} \cdot e_{1} & e_{3}^{'} \cdot e_{1} \\ e_{1}^{'} \cdot e_{2} & e_{2}^{'} \cdot e_{2} & e_{3}^{'} \cdot e_{2} \\ e_{1}^{'} \cdot e_{3} & e_{2}^{'} \cdot e_{3} & e_{3}^{'} \cdot e_{3} \end{array}) (\begin{matrix} e_{1}^{'} \\ e_{2}^{'} \\ e_{3}^{'} \end{matrix})$
となる。2番目と4番目を比較すると、ベクトル $x$ の座標変換は
$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} e_{1}^{'} \cdot e_{1} & e_{1}^{'} \cdot e_{2} & e_{1}^{'} \cdot e_{3} \\ e_{2}^{'} \cdot e_{1} & e_{2}^{'} \cdot e_{2} & e_{2}^{'} \cdot e_{3} \\ e_{3}^{'} \cdot e_{1} & e_{3}^{'} \cdot e_{2} & e_{3}^{'} \cdot e_{3} \end{array}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})$
となることがわかる。座標変換を表す演算子を $T$ とすると、
$x (x^{'}) = T x (x)$
となる。同様に、逆変換は、
$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{array}{ccc} e_{1} \cdot e_{1}^{'} & e_{1} \cdot e_{2}^{'} & e_{1} \cdot e_{3}^{'} \\ e_{2} \cdot e_{1}^{'} & e_{2} \cdot e_{2}^{'} & e_{2} \cdot e_{3}^{'} \\ e_{3} \cdot e_{1}^{'} & e_{3} \cdot e_{2}^{'} & e_{3} \cdot e_{3}^{'} \end{array}) (\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \\ x_{3}^{'} \end{matrix})$
となる。よく見ると、逆変換は行と列を入れ替えた転置行列 $\tilde{T} = T^{- 1}$ となっている。したがって、逆変換の性質から
$T \tilde{T} = T T^{- 1} = E$
である。

演算子の座標変換

$\begin{array}{rcl} T x^{'} & = & T (A x) \\ = & T A T^{- 1} T x \end{array}$
より、演算子の座標変換は、
$A^{'} = T A T^{- 1}$
となる。

基底