微分演算子の極座標表示

2次元の極座標表示の場合

デカルト座標と極座標の関係は、
$$\begin{eqnarray}
x&=&r\cos\theta\\
y&=&r\sin\theta
\end{eqnarray}$$
であり、逆から見ると

$$\begin{eqnarray}
r^2&=&x^2+y^2\\
\tan\theta&=&\frac{y}{x}
\end{eqnarray}$$
となる。それぞれの式の両辺を\(x\)で偏微分すると、
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial r^2}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}&=&2r\frac{\partial r}{\partial x}=2x　より　\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\cos\theta\\
\frac{\partial\tan\theta}{\partial \theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}&=&\frac{1}{\cos^2\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}　より　\frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}\cos^2\theta=-\frac{\sin\theta}{r}
\end{eqnarray}$$
となる。同様に\(y\)で偏微分すると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial r^2}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}&=&2r\frac{\partial r}{\partial y}=2y　より　\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}=\sin\theta\\
\frac{\partial\tan\theta}{\partial \theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}&=&\frac{1}{\cos^2\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{1}{x}　より　\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{1}{x}\cos^2\theta=\frac{\cos\theta}{r}
\end{eqnarray}$$
となる。これらの式を
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\theta}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\theta}
\end{eqnarray}$$
に代入すれば、
$$\boxed{\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\frac{\partial}{\partial\theta}
\end{eqnarray}}$$
となる。

3次元の極座標表示の場合

デカルト座標と極座標の関係は、
$$\begin{eqnarray}
x&=&r\sin\theta\cos\phi\\
y&=&r\sin\theta\sin\phi\\
z&=&r\cos\theta
\end{eqnarray}$$
であり、逆から見ると
$$\begin{eqnarray}
r^2&=&x^2+y^2+z^2\\
\tan\phi&=&\frac{y}{x}\\
\tan^2\theta&=&\frac{x^2+y^2}{z^2}
\end{eqnarray}$$
となる。それぞれの式の両辺を\(x\)で偏微分すると、
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial r^2}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}&=&2r\frac{\partial r}{\partial x}=2x　より　\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\sin\theta\cos\phi\\
\frac{\partial \tan\phi}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}&=&\frac{1}{\cos^2\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}　より　\frac{\partial \phi}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}\cos^2\phi=-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}\\
\frac{\partial\tan^2\theta}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}&=&\frac{2\tan\theta}{\cos^2\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{2x}{z^2}　より　\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{x}{z^2}\frac{\cos^2\theta}{\tan\theta}=\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi
\end{eqnarray}$$
となる。同様に\(y\)で偏微分すると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial r^2}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}&=&2r\frac{\partial r}{\partial y}=2y　より　\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}=\sin\theta\sin\phi\\
\frac{\partial \tan\phi}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y}&=&\frac{1}{\cos^2\phi}\frac{\partial \phi}{\partial y}=-\frac{1}{x}　より　\frac{\partial \phi}{\partial y}=\frac{1}{x}\cos^2\phi=\frac{\cos\phi}{r\sin\theta}\\
\frac{\partial\tan^2\theta}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}&=&\frac{2\tan\theta}{\cos^2\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{2y}{z^2}　より　\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{y}{z^2}\frac{\cos^2\theta}{\tan\theta}=\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi
\end{eqnarray}$$
となり、\(z\)で偏微分すると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial r^2}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z}&=&2r\frac{\partial r}{\partial z}=2z　より　\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}=\cos\theta\\
\frac{\partial \tan\phi}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial z}&=&\frac{1}{\cos^2\phi}\frac{\partial \phi}{\partial z}=0　より　\frac{\partial \phi}{\partial z}=0\\
\frac{\partial\tan^2\theta}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}&=&\frac{2\tan\theta}{\cos^2\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}=-2\frac{x^2+y^2}{z^3}　より　\frac{\partial\theta}{\partial z}=-\frac{x^2+y^2}{z^3}\frac{\cos^2\theta}{\tan\theta}=-\frac{1}{r}\sin\theta
\end{eqnarray}$$
となる。これらの式を
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}\\
\frac{\partial}{\partial z}&=&\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{eqnarray}$$
に代入すれば、
$$\boxed{\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{1}{r}\frac{\sin\phi}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\\
\frac{\partial}{\partial z}&=&\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}
\end{eqnarray}}$$
となる。\(\boldsymbol{\nabla}^2\)については、上記の式を計算すれば求まるのだが、とても計算が面倒くさい。ほとんどの教科書がそうしているように途中式は省略して、結果のみ書くと、
$$\boxed{\boldsymbol{\nabla}^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}}$$
となる。