極座標の運動方程式

2次元の極座標の運動方程式を出来るだけ簡単に導出します。

単位ベクトル

デカルト座標の単位ベクトルを\(\boldsymbol{e}_x\)、\(\boldsymbol{e}_y\)、極座標の単位ベクトルを\(r\)方向\(\boldsymbol{e}_r\)、\(r\)方向に垂直方向\(\boldsymbol{e}_\theta\)とすると、それぞれの単位ベクトルの関係式は、

$$\boxed{\begin{eqnarray} \boldsymbol{e}_r&=&\boldsymbol{e}_x\cos\theta+\boldsymbol{e}_y\sin\theta\\ \boldsymbol{e}_\theta&=&-\boldsymbol{e}_x\sin\theta+\boldsymbol{e}_y\cos\theta \end{eqnarray}}$$

となる。\(\boldsymbol{e}_x\)、\(\boldsymbol{e}_y\)は時間変化しないことに注意して時間\(t\)で微分すると、

$$\begin{eqnarray} \dot{\boldsymbol{e}}_r&=&-\boldsymbol{e}_x\dot{\theta}\sin\theta+\boldsymbol{e}_y\dot{\theta}\cos\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta&=&-\boldsymbol{e}_x\dot{\theta}\cos\theta-\boldsymbol{e}_y\dot{\theta}\sin\theta\\\end{eqnarray}$$

となるので、先程の単位ベクトルの関係式を代入すれば、

$$\boxed{\begin{eqnarray} \dot{\boldsymbol{e}}_r&=&\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta&=&-\dot{\theta}\boldsymbol{e}_r \end{eqnarray}}$$

の関係がわかる。

位置ベクトル

位置ベクトル\(\boldsymbol{r}\)を極座標で表すと、

$$\boxed{\boldsymbol{r}=r\boldsymbol{e}_r}$$

となる。

速度ベクトル

\(\boldsymbol{e}_r\)、\(\boldsymbol{e}_\theta\)は時間変化することに注意して、位置ベクトルを時間\(t\)で微分すると、

$$\dot{\boldsymbol{r}}=\dot{r}\boldsymbol{e}_r+r\dot{\boldsymbol{e}}_r$$

となるので、速度ベクトル\(\boldsymbol{v}\)は、

$$\boxed{\boldsymbol{v}=\dot{r}\boldsymbol{e}_r+r\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta}$$

となる。

運動方程式

速度ベクトルを時間\(t\)で微分すると、 $$\begin{eqnarray} \ddot{\boldsymbol{r}}&=&\ddot{r}\boldsymbol{e}_r+\dot{r}\dot{\boldsymbol{e}}_r+\dot{r}\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta+r\ddot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta+r\dot{\theta}\dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ &=&\ddot{r}\boldsymbol{e}_r+\dot{r}\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta+\dot{r}\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta+r\ddot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta-r\dot{\theta}^2\boldsymbol{e}_r\\ &=&(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\boldsymbol{e}_r+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{e}_\theta \end{eqnarray}$$ となる。したがって、極座標の運動方程式は、 $$\boxed{\begin{eqnarray} F_r&=&m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\\ F_\theta&=&m(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}) \end{eqnarray}}$$ となる。