極座標の運動方程式

2次元の極座標の運動方程式を出来るだけ簡単に導出します。

単位ベクトル

デカルト座標の単位ベクトルを${\mathit{e}}_x$、${\mathit{e}}_y$、極座標の単位ベクトルを$r$方向${\mathit{e}}_r$、$r$方向に垂直方向${\mathit{e}}_{\theta }$とすると、それぞれの単位ベクトルの関係式は、

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rcl}{\mathit{e}}_r& =& {\mathit{e}}_x\cos \theta +{\mathit{e}}_y\sin \theta \\ {\mathit{e}}_{\theta }& =& -{\mathit{e}}_x\sin \theta +{\mathit{e}}_y\cos \theta \end{array}}}$$

となる。${\mathit{e}}_x$、${\mathit{e}}_y$は時間変化しないことに注意して時間$t$で微分すると、

$$\begin{array}{rcl}{\dot{\mathit{e}}}_r& =& -{\mathit{e}}_x\dot{\theta }\sin \theta +{\mathit{e}}_y\dot{\theta }\cos \theta \\ {\dot{\mathit{e}}}_{\theta }& =& -{\mathit{e}}_x\dot{\theta }\cos \theta -{\mathit{e}}_y\dot{\theta }\sin \theta \end{array}$$

となるので、先程の単位ベクトルの関係式を代入すれば、

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rcl}{\dot{\mathit{e}}}_r& =& \dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }\\ {\dot{\mathit{e}}}_{\theta }& =& -\dot{\theta }{\mathit{e}}_r\end{array}}}$$

の関係がわかる。

位置ベクトル

位置ベクトル$\mathit{r}$を極座標で表すと、

$$\boxed{{\displaystyle \mathit{r}=r{\mathit{e}}_r}}$$

となる。

速度ベクトル

${\mathit{e}}_r$、${\mathit{e}}_{\theta }$は時間変化することに注意して、位置ベクトルを時間$t$で微分すると、

$$\dot{\mathit{r}}=\dot{r}{\mathit{e}}_r+r{\dot{\mathit{e}}}_r$$

となるので、速度ベクトル$\mathit{v}$は、

$$\boxed{{\displaystyle \mathit{v}=\dot{r}{\mathit{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }}}$$

となる。

運動方程式

速度ベクトルを時間$t$で微分すると、 $$\begin{array}{rcl}\ddot{\mathit{r}}& =& \ddot{r}{\mathit{e}}_r+\dot{r}{\dot{\mathit{e}}}_r+\dot{r}\dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }+r\ddot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }+r\dot{\theta }{\dot{\mathit{e}}}_{\theta }\\ & =& \ddot{r}{\mathit{e}}_r+\dot{r}\dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }+r\ddot{\theta }{\mathit{e}}_{\theta }-r{\dot{\theta }}^2{\mathit{e}}_r\\ & =& (\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\mathit{e}}_r+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }){\mathit{e}}_{\theta }\end{array}$$ となる。したがって、極座標の運動方程式は、 $$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rcl}{F}_r& =& m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\\ F_{\theta }& =& m(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\end{array}}}$$ となる。