ラザフォード散乱を例にして、散乱断面積を考えます。
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はじめに
20世紀初頭、原子はブドウパンの様に、原子のほとんどの質量を持ったプラス電荷（パン）が全体を均一に覆っており、その中に軽いマイナス電荷を持った電子（ブドウ）が粒状に存在すると考えられていた。
1911年、ラザフォードは、アルファ粒子（電子の7,300倍重く、+2の電荷を持つ高エネルギー粒子）を薄い金箔に衝突させる実験を行った。もし、原子がブドウパンの様だったら、アルファ粒子は、電荷が薄く広がった小さなプラス電荷の影響を何度も受け、ほんの少しだけ進路を変えて出てくるハズである。電子は軽すぎてほとんど影響しないだろう。
しかし、実験結果は、ほとんどのアルファ粒子は直進するが、ごく稀に8,000個に1個程度のアルファ粒子は90度以上の大きな角度で弾き飛ばされることがわかった。ラザフォードは、「ちり紙が弾丸を跳ね飛ばしたようだ」と言って驚いたが、この実験結果より、原子は、衝突すれば高エネルギーのアルファ粒子を弾き飛ばせるだけのプラス電荷が、ごく稀にしか衝突しないことから原子の中で集中して存在することがわかり、原子核の発見に繋がった。
計算してみると、原子核は原子の1万分の1の小さな範囲に全てのプラス電荷を含んでいた。つまり原子核と電子の間はスカスカの空間であった。
ラザフォード散乱とは
一般に、金箔の実験のほか、クーロン相互作用による荷電粒子間の弾性散乱全般をラザフォード散乱と言う。
粒子の軌道
原点に標的の原子核を置き、x軸のマイナス側から衝突させる粒子を侵入させる。粒子が原子核に近づくと、クーロン力が働き粒子の軌道が変化する。粒子の位置ベクトルを\(\boldsymbol{r}(t)\)、x軸との角度を\(\varphi\)、粒子の電荷を\(q_1\)、原子核の電荷を\(q_2\)とすると、極座標の運動方程式およびクーロンの法則より、
$$\begin{eqnarray}
F_r&=&m(\ddot{r}-r\dot{\varphi}^2)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\\
F_\varphi&=&m(2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi})=0
\end{eqnarray}$$
となる。2つ目の運動方程式は、角速度\(\omega=\dot{\varphi}\)、角運動量\(L=mr^2\dot{\varphi}\)を使って、
$$m(2\dot{r}\omega+r\dot{\omega})=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(mr^2\omega)=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}L=0$$
となり、角運動量の保存則を表している。つまり\(L\)は定数となる。また、衝突前、粒子が原子核から充分に離れている状態では、粒子はx軸に並行に進んでいると考えてよい。その時の粒子の速さを\(-v_0\)（マイナスの符号は角速度と粒子の進行方向が逆のため）、x軸からの距離を\(b\)とすると、角運動量の定義より
$$L=-mv_0r\sin\varphi=-mv_0b$$
となる。\(b\)を衝突係数（もしくは衝突パラメータ）と言う。\(L=mr^2\dot{\varphi}=-mv_0b\)より、\(\dot{\varphi}=-v_0b/r^2\)を1つ目の運動方程式に代入すると
$$\ddot{r}-\frac{v_o^2b^2}{r^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{mr^2}$$
となる。ここで、\(r=1/u\)を導入すると、
$$\begin{eqnarray}
\ddot{r}&=&\frac{d}{dt} \left(\frac{d\varphi}{dt}\frac{dr}{du}\frac{du}{d\varphi}\right)\\
&=&\frac{d}{dt}\left(-v_0bu^2\cdot-\frac{1}{u^2}\cdot\frac{du}{d\varphi}\right)\\
&=&v_0b\frac{d}{d\varphi}\frac{du}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\\
&=&-v_0^2b^2u^2\frac{d^2u}{d\varphi^2}
\end{eqnarray}$$
となるので、
$$\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2b^2}$$
となる。右辺が定数なので、右辺を\(-\kappa\)と置くと、この方程式の一般解は、
$$u=u_0\cos(\varphi+\varphi_0)-\kappa$$
となり、\(u\)を戻して位置ベクトル\(r\)の式にすれは、
$$\boxed{r=\frac{-\kappa^{-1}}{1-u_0\kappa^{-1}\cos(\varphi+\varphi_0)}}$$
となる。この式は、極座標の双曲線となっており、粒子の軌道を表している。最後に境界条件から初期値\(u_0\)と\(\varphi_0\)を求める。衝突前の無限遠方\(r=\infty\)では\(u=0\)、\(\varphi=\pi\)となるので、2つ前の式に代入すると
$$\kappa=-u_0\cos\varphi_0$$
となる。また、
$$\frac{du}{dt}=-\frac{\dot{r}}{r^2}=-u_0\dot{\varphi}\sin(\varphi+\varphi_0)$$
となり、\(\dot{\varphi}=-v_0b/r^2\)であるから、
$$\dot{r}=-u_0v_0b\sin(\varphi+\varphi_0)$$
となる。同じく衝突前の無限遠方\(r=\infty\)では\(\dot{r}=-v_0\)、\(\varphi=\pi\)となるので、
$$1=-u_0b\sin\varphi_0$$
となる。したがって、
$$\frac{1}{\kappa}=\frac{-u_0b\sin\varphi_0}{-u_0\cos\varphi_0}=b\tan\varphi_0$$
となるので、
$$\begin{eqnarray}
\varphi_0&=&\arctan\frac{1}{b\kappa}\\
u_0&=&-\kappa\frac{1}{\cos\left(\arctan\frac{1}{b\kappa}\right)}
\end{eqnarray}$$
となり、少し複雑な式であるが、初期値が求まる。
最接近距離
粒子が原子核に最も近づく最接近距離\(\dot{r}_{min}\)を考える。最接近距離は、粒子の軌道が描く双曲線の頂点となる。粒子の速度は双曲線の接線方向だから、再接近距離である頂点での動径方向\(\boldsymbol{e}_r\)の速度は0であり、極座標の速度ベクトルより、\(\dot{r}_{min}=0\)である。先程求めた\(\dot{r}\)の式より
$$\dot{r}_{min}=-u_0v_0b\sin(\varphi+\varphi_0)=0$$
であるから、最接近距離は\(\varphi=\pi-\varphi_0\)の時である。したがって、最接近距離\(r_{min}\)は、
$$r_{min}=\frac{-\kappa^{-1}}{1+u_0\kappa^{-1}}$$
となる。
散乱角
衝突後に粒子が進む方向を示す散乱角は、双曲線の漸近線の方向となる。衝突前の漸近線はx軸（角度は\(\pi\)）であり、双曲線の頂点を挟んで対象の方向に衝突後の漸近線が存在する。先程の再接近距離の考察より、双曲線の頂点は、x軸から\(\varphi_0\)戻ったところにあるので、散乱角\(\theta\)は、更に\(\varphi_0\)戻ったところにある。したがって、
$$\theta=\pi-2\varphi_0$$
となる。
散乱角と衝突係数の関係
次に知りたいのは、飛び出てきた粒子の散乱角\(\theta\)とその粒子が侵入した際の衝突係数\(b\)の関係である。散乱角\(\theta\)に\(\varphi_0\)を代入すれば、
$$\frac{\pi-\theta}{2}=\arctan\frac{1}{b\kappa}=\arctan\frac{4\pi\varepsilon_0mv_0^2b}{q_1q_2}$$
となるから、
$$b=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2}\tan\frac{\pi-\theta}{2}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2}\frac{1}{\tan\frac{\theta}{2}}（図を書けばわかるが\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2})=\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{\tan\frac{\theta}{2}}となる）$$
となる。衝突係数を散乱角を変数として表すことができ、衝突係数によって散乱角が決まることがわかる。更に両辺を\(\theta\)で微分すると、
$$\frac{db}{d\theta}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0mv_0^2}\cdot-\frac{1}{\tan^2\frac{\theta}{2}}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{q_1q_2}{8\pi\varepsilon_0mv_0^2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}$$
となる。マイナスの符号は、入射時のズレが小さいほど散乱角が大きくなることを表している。絶対値で表すと、
$$|db|=\frac{q_1q_2}{8\pi\varepsilon_0mv_0^2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}|d\theta|$$
となる。
散乱断面積
散乱断面積とは、散乱する確率を面積で表したもので、よく”的”に例えられる。（的が大きいほど当たりやすい）
実際の衝突実験では、入射する粒子のビームの断面積を\(A\)、標的の単位体積あたりの個数を\(n\)、厚みを\(\delta\)とすれは、衝突する可能性のある標的の個数は\(nA\delta\)となる。標的1個の面積を\(\pi a^2\)とすれば、標的全体の面積は、
$$nA\delta\cdot\pi a^2$$
となる。（ただし、この場合の\(a\)は標的の粒子の半径ではなく、相互作用が観測される範囲であり、\(a\)より外側では粒子は相互作用せずに直進する。衝突係数\(b\)の最大値が\(a\)となる。また、粒子のビームから見て標的が重なっている場合は考慮していない。それだけ金箔は薄く、原子核は小さく1つ1つが離れている）粒子のビームが標的に衝突する確率は、標的全体の面積を粒子のビームの断面積で割れば求まるので、
$$n\delta\cdot\pi a^2$$
となる。この内、散乱角\(\theta\)に散乱するのは、標的1個の面積が\(2\pi b|db|\)の時（つまり半径\(b\)の円周上）だから、散乱角\(\theta\)に散乱する確率は、標的の面積を\(\pi a^2\)から\(2\pi b|db|\)に置き換えて、
$$n\delta\cdot 2\pi b|db|$$
となる。最後に散乱角\(\theta\)の散乱方向は、立体角で考えると、標的を原点に置いた半径1の球面上に円を描くように存在する。その面積は\(2\pi\sin\theta |d\theta|\)（つまり半径\(\sin\theta\)の円周上）となるので、その内、ある1点に観測装置を置き、その観測装置で散乱粒子が観測される確率は、標的の面積を\(2\pi\sin\theta |d\theta|\)で割って、
$$n\delta\cdot\frac{b}{\sin\theta}\frac{|db|}{|d\theta|}$$
となる。この時、面積比率を表す
$$\sigma(\theta)=\frac{b}{\sin\theta}\frac{|db|}{|d\theta|}$$
を、微分断面積と言う。更に先程求めた微分した衝突係数と散乱角の関係式を代入した
$$\sigma(\theta)=\frac{b}{\sin\theta}\frac{q_1q_2}{8\pi\varepsilon_0mv_0^2}\frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}}$$
を、ラザフォードの散乱公式と言う。
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