角運動量演算子

角運動量演算子

角運動量は$L=r\times p$だから、角運動量演算子は、
$$\hat{\mathit{L}}=\hat{\mathit{r}}\times \hat{\mathit{p}}=-i\hslash \hat{\mathit{r}}\times \mathbf{\nabla }$$
となる。

角運動量演算子の固有値

角運動量演算子を微分演算子の極座標表示を使って、成分で書くと
$$\begin{array}{rcl}{\hat{L}}_x& =& -i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})\\ & =& -i\hslash \{r\sin \theta \sin \varphi (\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{1}{r}\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })-r\cos \theta (\sin \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r}\frac{\cos \varphi }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })\}\\ & =& i\hslash (\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })\\ {\hat{L}}_y& =& -i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})\\ & =& -i\hslash \{r\cos \theta (\sin \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{1}{r}\frac{\sin \varphi }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })-r\sin \theta \cos \varphi (\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{1}{r}\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })\}\\ & =& i\hslash (-\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\sin \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })\\ {\hat{L}}_z& =& -i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})\\ & =& -i\hslash \{r\sin \theta \cos \varphi (\sin \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \theta \sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{r}\frac{\cos \varphi }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })-r\sin \theta \sin \varphi (\sin \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \theta \cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{1}{r}\frac{\sin \varphi }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi })\}\\ & =& -i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}$$
となる。さらに
$$\begin{array}{rcl}{\hat{\mathit{L}}}^2& =& {\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2\\ & =& -{\hslash }^2\{{\sin }^2\varphi \frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{\cos \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\right)+\frac{\cos \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }(\sin \varphi \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{\cos \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\left(\frac{\cos \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\right)\}-{\hslash }^2\{{\cos }^2\varphi \frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}-\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{\sin \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\right)-\frac{\sin \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }(\cos \varphi \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{\sin \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\left(\frac{\sin \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\right)\}-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\\ & =& -{\hslash }^2(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\cos }^2\varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi \sin \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\cos \varphi \sin \varphi }{{\tan }^2\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }+\frac{{\cos }^2\varphi }{{\tan }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\sin }^2\varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\sin \varphi \cos \varphi }{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\sin \varphi \cos \varphi }{{\tan }^2\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }+\frac{{\sin }^2\varphi }{{\tan }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2})\\ & =& -{\hslash }^2(\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{1}{\tan \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{{\tan }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2})\\ & =& -{\hslash }^2\{(\frac{1}{\sin \theta }\sin \theta \frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta })+(\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }+1)\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\}\\ & =& -{\hslash }^2\{\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\}\end{array}$$
となる。この式の{}の中は、水素原子の波動関数で求めた球面調和関数$Y(\theta ,\varphi )$の式、
$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y(\theta ,\varphi )}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y(\theta ,\varphi )}{\partial {\varphi }^2}=-\lambda Y(\theta ,\varphi )$$
と同じ形である。$\lambda =l(l+1)$であるから、
$${\hat{\mathit{L}}}^2{Y}_l^m(\theta ,\varphi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$$
となり、球面調和関数$Y$は角運動量演算子の2乗の固有関数で、その固有値が${\hslash }^{2}l(l+1)$となることがわかる。したがって、角運動量演算子の大きさの固有値は、
$$\boxed{L=\hslash \sqrt{l(l+1)}}$$
である。さらに、球面調和関数を$\varphi$で変数分離した式が
$$\frac{d^2\mathrm{\Phi }(\varphi )}{d{\varphi }^2}+m^2\mathrm{\Phi }(\varphi )=0$$
であるから、任意の定数$A$を用いて
$$\mathrm{\Phi }(\varphi )=A{e}^{im\varphi }$$
となる。角運動量演算子のz軸成分に代入すると、
$${\hat{L}}_z\mathrm{\Phi }(\varphi )=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }(A{e}^{im\varphi })=m\hslash A{e}^{im\varphi }=m\hslash \mathrm{\Phi }(\varphi )$$
となり、角運動量演算子のz軸成分の固有値は、
$$\boxed{L_z=m\hslash }$$
となる。

演算子の交換関係

角運動量演算子の交換関係は、
$$\begin{array}{rcl}[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]& =& i\hslash {\hat{L}}_z\\ [{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z]& =& i\hslash {\hat{L}}_x\\ [{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]& =& i\hslash {\hat{L}}_y\\ [{\hat{\mathit{L}}}^2,{\hat{L}}_z]& =& 0\end{array}$$
となる。つまり、先程求めた$L$や$L_z$は同時に確定できるが、その時$L_x$や$L_y$は不確定となる。

量子数との関係

磁気量子数は、$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$であるから、角運動量のz軸成分は、$\hslash$の整数倍でとびとびの値をとる。正負の符号は上向き、下向きを表す。古典力学の角運動量ではz軸成分のみで表されるが、量子力学はそうではない。$l\ge |m|$であるから、角運動量の大きさ$L=\hslash \sqrt{l(l+1)}$は、必ず$L_z$よりも大きな値となる。$L_z$を高さ、$L=\hslash \sqrt{l(l+1)}$を斜辺とした円錐上に角運動量ベクトルができるが、$L_x$や$L_y$は固有状態に関与していないので、角運動量ベクトルの方向は不確定となる。ちなみに$m=l=0$の時は、角運動量は0である。