角運動量演算子

角運動量演算子

角運動量は\(L=r\times p\)だから、角運動量演算子は、
$$\hat{\boldsymbol{L}}=\hat{\boldsymbol{r}}\times\hat{\boldsymbol{p}}=-i\hbar\hat{\boldsymbol{r}}\times\boldsymbol{\nabla}$$
となる。

角運動量演算子の固有値

角運動量演算子を微分演算子の極座標表示を使って、成分で書くと
$$\begin{eqnarray}
\hat{L}_x&=&-i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y}\right)\\
&=&-i\hbar\left\{r\sin\theta\sin\phi\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)-r\cos\theta\left(\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\right\}\\
&=&i\hbar\left(\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\\
\hat{L}_y&=&-i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z}\right)\\
&=&-i\hbar\left\{r\cos\theta\left(\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{1}{r}\frac{\sin\phi}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)-r\sin\theta\cos\phi\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right\}\\
&=&i\hbar\left(-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\\
\hat{L}_z&=&-i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)\\
&=&-i\hbar\left\{r\sin\theta\cos\phi\left(\sin\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)-r\sin\theta\sin\phi\left(\sin\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{1}{r}\frac{\sin\phi}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\right\}\\
&=&-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}
\end{eqnarray}$$
となる。さらに
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{\hat{L}}^2&=&\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\\
&=&-\hbar^2\left\{\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\right\}-\hbar^2\left\{\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)-\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\right\}-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\\
&=&-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\cos^2\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\cos\phi\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{\cos\phi\sin\phi}{\tan^2\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\cos^2\phi}{\tan^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\sin^2\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{\sin\phi\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\sin\phi\cos\phi}{\tan^2\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\sin^2\phi}{\tan^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)\\
&=&-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{\tan\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{\tan^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)\\
&=&-\hbar^2\left\{\left(\frac{1}{\sin\theta}\sin\theta\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\left(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}+1\right)\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}\\
&=&-\hbar^2\left\{\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}
\end{eqnarray}$$
となる。この式の{}の中は、水素原子の波動関数で求めた球面調和関数\(Y(\theta,\phi)\)の式、
$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y(\theta,\phi)}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y(\theta,\phi)}{\partial\phi^2}=-\lambda Y(\theta,\phi)$$
と同じ形である。したがって、\(\lambda=l(l+1)\)であるから、
$$\hat{\boldsymbol{L}}^2 Y^m_l(\theta,\phi)=\hbar^2 l(l+1) Y^m_l(\theta,\phi)$$
となり、球面調和関数\(Y\)は角運動量演算子の2乗の固有関数で、その固有値が\(\hbar^2 l(l+1)\)となることがわかる。したがって、角運動量演算子の大きさの固有値は、
$$\fbox{\(L=\hbar\sqrt{l(l+1)}\)}$$
である。さらに、球面調和関数を\(\phi\)で変数分離した式が
$$\frac{d^2\Phi(\phi)}{d\phi^2}+m^2\Phi(\phi)=0$$
であるから、任意の定数\(A\)を用いて
$$\Phi(\phi)=Ae^{im\phi}$$
となる。したがって、
$$\hat{L}_z\Phi(\phi)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi} (Ae^{im\phi})=m\hbar Ae^{im\phi}=m\hbar\Phi(\phi)$$
となり、角運動量演算子のz軸成分の固有値は、
$$\fbox{\(L_z=m\hbar\)}$$
となる。

演算子の交換関係

角運動量演算子の交換関係は、
\begin{eqnarray}
[\hat{L}_x,\hat{L}_y]&=&i\hbar \hat{L}_z\\
[\hat{L}_y,\hat{L}_z]&=&i\hbar \hat{L}_x\\
[\hat{L}_z,\hat{L}_x]&=&i\hbar \hat{L}_y\\
[\boldsymbol{\hat{L}}^2,\hat{L}_z]&=&0
\end{eqnarray}
となる。つまり、先程求めた\(L\)や\(L_z\)は同時に確定できるが、その時\(L_x\)や\(L_y\)は不確定となる。

量子数との関係

磁気量子数は、\(m=0,\pm1,\pm2,\dots\)であるから、角運動量のz軸成分は、\(\hbar\)の整数倍でとびとびの値をとる。正負の符号は上向き、下向きを表す。古典力学の角運動量ではz軸成分のみで表されるが、量子力学はそうではない。\(l\geq |m|\)であるから、角運動量の大きさ\(L=\hbar\sqrt{l(l+1)}\)は、必ず\(L_z\)よりも大きな値となる。\(L_z\)を高さ、\(L=\hbar\sqrt{l(l+1)}\)を斜辺とした円錐上に角運動量ベクトルができるが、\(L_x\)や\(L_y\)は固有状態に関与していないので、角運動量ベクトルの方向は不確定となる。ちなみに\(m=l=0\)の時は、角運動量は0である。