生成・消滅演算子

はじめに

量子化された調和振動子のエネルギー固有値は、$\hslash \omega$の整数倍にとびとびの（離散的な）値を持つ特徴がある。この事からすぐに、フーリエ展開した調和振動子のように振る舞う波を「エネルギー$\hslash \omega$の粒子が$n$個ある」と言い換えて、電磁波の粒子性（光子）を研究することに応用されていく。そして、ディラックが考えた生成・消滅演算子を使った計算方法は、その粒子性を明確にする。エネルギーの固有関数に演算子を掛けると、あたかも粒子を増減させるように、エネルギー準位を上下させた固有関数を簡単に表すことができる。

調和振動子の量子化と生成・消滅演算子

量子化前の調和振動子のハミルトニアン$H$は、

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

であるが、これを$a^2+b^2=(a-ib)(a+ib)$を利用して因数分解してみると、

$$H=\hslash \omega \left\{\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x-\frac{i}{m\omega }p)\right\}\left\{\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x+\frac{i}{m\omega }p)\right\}$$

となる。ここで、$x$と$p$を演算子に置き換えて量子化し、生成演算子${\hat{a}}^{†}$と消滅演算子$\hat{a}$を

$$\begin{array}{rcl}{\hat{a}}^{†}& \equiv & \sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}-\frac{i}{m\omega }\hat{p})\\ \hat{a}& \equiv & \sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p})\end{array}$$

と定義して$\hslash \omega {\hat{a}}^{†}\hat{a}$を計算してみると、

$$\begin{array}{rcl}\hslash \omega {\hat{a}}^{†}\hat{a}& =& \hslash \omega \left\{\frac{m\omega }{2\hslash }({\hat{x}}^2+\frac{i}{m\omega }\hat{x}\hat{p}-\frac{i}{m\omega }\hat{p}\hat{x}+\frac{1}{m^2{\omega }^2}{\hat{p}}^2)\right\}\\ & =& \frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2+\frac{1}{2}i\omega [\hat{x},\hat{p}]\\ & =& \hat{H}-\frac{1}{2}\hslash \omega \end{array}$$

となるから、量子化された調和振動子のハミルトニアン$\hat{H}$は、生成・消滅演算子を使って

$$\boxed{\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})}$$

と表すことができる。量子化前の式と比べると、$\frac{1}{2}$の項が余分に出てきているが、これは途中式を見れば明らかなように$\hat{x}$と$\hat{y}$の交換関係から出てきていて、古典論では0になる。

個数演算子

個数演算子$\hat{N}$を

$$\boxed{\hat{N}\equiv {\hat{a}}^{†}\hat{a}}$$

と定義する。公式$(\hat{a}\hat{b}{)}^{†}={\hat{b}}^{†}{\hat{a}}^{†}$を使うと、

$${\hat{N}}^{†}=({\hat{a}}^{†}\hat{a}{)}^{†}={\hat{a}}^{†}({\hat{a}}^{†}{)}^{†}={\hat{a}}^{†}\hat{a}=\hat{N}$$

であるから、$\hat{N}$はエルミート演算子で、固有値を$n$とすれば、$|n⟩$で基底を取ることができる。

$$\hat{N}|n⟩=n|n⟩$$

調和振動子のハミルトニアンは、

$$\begin{array}{rcl}\hat{H}|n⟩& =& \hslash \omega (\hat{N}+\frac{1}{2})|n⟩\\ & =& \hslash \omega (n+\frac{1}{2})|n⟩\end{array}$$

となり、ハミルトニアンの固有値を求めることは、個数演算子の固有値$n$を求めることと同じと言える。生成・消滅演算子を使わないで量子化した場合と比べると、$n$は0または正の整数となるから、調和振動子のエネルギーは$\hslash \omega$が$n$個分と数えることができる。（$\frac{1}{2}$の項はエネルギーの基準値を示すだけなので無視する）

生成・消滅演算子の交換関係

$$\begin{array}{rcl}[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]& =& \hat{a}{\hat{a}}^{†}-{\hat{a}}^{†}\hat{a}\\ & =& \frac{m\omega }{2\hslash }({\hat{x}}^2-\frac{i}{m\omega }\hat{x}\hat{p}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\hat{x}+\frac{1}{m^2{\omega }^2}{\hat{p}}^2)-\frac{m\omega }{2\hslash }({\hat{x}}^2+\frac{i}{m\omega }\hat{x}\hat{p}-\frac{i}{m\omega }\hat{p}\hat{x}+\frac{1}{m^2{\omega }^2}{\hat{p}}^2)\\ & =& -\frac{i}{\hslash }(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\\ & =& -\frac{i}{\hslash }\cdot i\hslash \\ & =& 1\end{array}$$

生成・消滅演算子の役割

$\hat{a}{\hat{a}}^{†}-{\hat{a}}^{†}\hat{a}=1$の関係を使って$\hat{N}{\hat{a}}^{†}$を計算してみると、

$$\begin{array}{rcl}\hat{N}{\hat{a}}^{†}|n⟩& =& {\hat{a}}^{†}\hat{a}{\hat{a}}^{†}|n⟩\\ & =& {\hat{a}}^{†}({\hat{a}}^{†}\hat{a}+1)|n⟩\\ & =& (n+1){\hat{a}}^{†}|n⟩\end{array}$$

となる。

$$\hat{N}|n+1⟩=(n+1)|n+1⟩$$

と比較すれは、

$$\boxed{{\hat{a}}^{†}|n⟩=|n+1⟩}$$

となる。${\hat{a}}^{†}$が$n$を1つ増やす役割を果たしており、生成演算子の名称の由来になっている。同様に$\hat{N}\hat{a}$を計算してみると、

$$\begin{array}{rcl}\hat{N}\hat{a}|n⟩& =& {\hat{a}}^{†}\hat{a}\hat{a}|n⟩\\ & =& (\hat{a}{\hat{a}}^{†}-1)\hat{a}|n⟩\\ & =& \hat{a}({\hat{a}}^{†}\hat{a}-1)|n⟩\\ & =& (n-1)\hat{a}|n⟩\end{array}$$

となるので、

$$\boxed{\hat{a}|n⟩=|n-1⟩}$$

となる。$\hat{a}$が$n$を1つ減らす役割を果たしており、消滅演算子の名称の由来になっている。

さらに

$$\hat{N}\hat{a}|0⟩=n\hat{a}|0⟩$$

のとき、$n$が0または正の整数のまま矛盾なく成り立つためには、

$$\boxed{\hat{a}|0⟩=0}$$

となる。