場を量子化する際、波動関数の振幅を演算子に置き換えると、なぜ生成消滅演算子になるのかを考えます。
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はじめに
歴史的に見ると場の量子化は、量子力学を参考に電磁波（場）を量子化して光子（粒子）を表す研究からはじまった。まず簡単に、電磁波の編光を無視した実スカラー場で考察された。その後、物質が生成・消滅することがわかると、物質を表す波動関数自体を量子化する必要が出てきたため、波動関数の”確率波”を”場”として考えて量子化した。当時は、波動関数をもう一度量子化するので、第二量子化と呼ばれた。
調和振動子の量子化と生成・消滅演算子
実スカラー場の量子化を考える前に、古典的な調和振動子が、量子力学でどのように量子化されるか見てみる。古典的な調和振動子を指数関数の形で書くと
$$x=ae^{-i\omega t}+a^*e^{i\omega t}$$
となる。（第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(x\)は実数となっている）ここで\(a\)は\(t=0\)の時の振幅を表し、定数であることを強調しておく。上記の式を古典的な調和振動子のエネルギー式に代入してハミルトニアンを計算すると
$$\begin{eqnarray}
H&=&\frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\\
&=&\frac{1}{2}m(-i\omega ae^{-i\omega t}+i\omega a^*e^{i\omega t})^2+\frac{1}{2}m\omega^2(ae^{-i\omega t}+a^*e^{i\omega t})^2\\
&=&\frac{1}{2}m(-\omega^2a^2e^{-2i\omega t}+2\omega^2a^*a-\omega^2a^{*2}e^{2i\omega t})+\frac{1}{2}m\omega^2(a^2e^{-2i\omega t}+2a^*a+a^{*2}e^{2i\omega t})\\
&=&2m\omega^2a^*a
\end{eqnarray}$$
となる。ここで少し強引だが、
$$a→\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}a$$
と書き換えると、
$$H=\omega a^*a$$
となり、量子力学で生成・消滅演算子を使って量子化した調和振動子の結果
$$\begin{eqnarray}
H&=&\omega\left(a^\dagger a-\frac{1}{2}i[x,p]\right)\\
&=&\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray}$$
との対応が見てとれる。基底エネルギーの1/2の項は、\(x\)と\(p\)の交換関係から出てきた値で、古典論では0になる。従って調和振動子\(x\)を量子化するには、
$$a→\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}a$$
のように係数（演算子\(a\)の規格化因子）を取り、振幅を生成・消滅演算子で書き換えれば良いことがわかる。実際にそのようにして最初の調和振動子の式を書き換えて量子化すると、演算子\(x\)と\(p\)は、
$$\begin{eqnarray}
x&=&\sqrt{\frac{1}{2m\omega}}\left(ae^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}\right)\\
p&=&m\frac{dx}{dt}\\
&=&i\sqrt{\frac{m\omega}{2}}\left(-ae^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}\right)
\end{eqnarray}$$
となる。逆に解くと、
$$\begin{eqnarray}
a^\dagger(0)e^{i\omega t}&=&\sqrt\frac{m\omega}{2}\left(x-\frac{i}{m\omega}p\right)=a^\dagger(t)\\
a(0)e^{-i\omega t}&=&\sqrt\frac{m\omega}{2}\left(x+\frac{i}{m\omega}p\right)=a(t)
\end{eqnarray}$$
となり、生成・消滅演算子の定義式が再現される。（定義式が、任意の時刻の生成・消滅演算子を表していることもわかる）
実スカラー場の量子化
スカラー場は、クライン-ゴルドン方程式で表される。クライン-ゴルドン方程式の解が実数になるように書くと
$$\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}(a_\boldsymbol{k} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-i\omega_\boldsymbol{k}t}+a^*_\boldsymbol{k} e^{-i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}+i\omega_\boldsymbol{k}t})$$
となる。（調和振動子の\(x\)にあたるのが\(\phi\)になっており、先程と同様に第一項の複素共役を第二項で足しているので、\(\phi\)が実数であることが保証される）そして、ここでも\(a\)は\(t=0\)、\(x=0\)の時の振幅を表していることを強調しておく。この式は、\(\boldsymbol{x}\)を固定して見てみると、\(\boldsymbol{k}\)が異なる独立した調和振動子の重ね合わせになっており、上記の調和振動子の量子化の議論をそのまま適用できる。
ここで調和振動子の質量\(m\)（場なので、以下、密度\(\rho\)とする）を考える。場においては、振動している場自身の質量（のような量）にあたり、実際の粒子の質量ではない。また、調和振動子を量子化する議論で、質量\(\rho\)は、あくまで演算子\(a\)の規格化因子の中でのみ表れ、質量\(\rho\)がどのような値でも実際の物理（観測値）には影響しない。したがって、\(\rho=1\)を採用する。
実スカラー場の振幅を\(t=0\)、\(\boldsymbol{x}=0\)で
$$a→\sqrt{\frac{1}{2\omega}}a$$
と規格化因子を取り、生成・消滅演算子に書き換えて場\(\phi\)を量子化すると、
$$\fbox{\(\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{1}{ 2\omega_\boldsymbol{k}}}(a_\boldsymbol{k} e^{-ik\cdot x}+a^\dagger_\boldsymbol{k} e^{ik\cdot x})\)}$$
となる。\(\phi\)に正準共役の運動量（のような量。実際の粒子の運動量では無い）の演算子\(\pi\)は、\(\rho=1\)なので、
$$\begin{eqnarray}
\pi(\boldsymbol{x},t)&=&\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}\\
&=&\dot{\phi}\\
&=&\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}i\sqrt{\frac{\omega_\boldsymbol{k}}{2}}(-a_\boldsymbol{k} e^{-ik\cdot x}+a^\dagger_\boldsymbol{k} e^{ik\cdot x})
\end{eqnarray}$$
となる。
場の正準交換関係
同時刻で、
$$\begin{eqnarray}
[\phi(\boldsymbol{x},t),\pi(\boldsymbol{x}’,t)]&=&\phi\pi-\pi\phi\\
&=&\iint \frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{1}{2\omega}}i\sqrt{\frac{\omega’}{2}}\{
(ae^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})(-a’e^{-ik’x’}+a’^\dagger e^{ik’x’})-(-a’e^{-ik’x’}+a’^\dagger e^{ik’x’})(ae^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})\}\\
&=&\frac{i}{2}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}\{(-aa’e^{-ikx-ik’x’}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x’}-a^\dagger a’e^{ikx-ik’x’}+a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x’})-(-a’ae^{-ikx-ik’x’}-a’a^\dagger e^{ikx-ik’x’}+a’^\dagger ae^{-ikx+ik’x’}+a’^\dagger a^\dagger e^{ikx+ik’x’})\}\\
&=&\frac{i}{2}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}([a’,a]e^{-ikx-ik’x’}+[a,a’^\dagger]e^{-ikx+ik’x’}+[a’,a^\dagger]e^{ikx-ik’x’}+[a^\dagger,a’^\dagger]e^{ikx+ik’x’})\\
&=&\frac{i}{2}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega’}{\omega}}\{0+\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)e^{i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}’-\omega’ t)}+\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)e^{-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}’-\omega’ t)}+0\}（生成消滅演算子の交換関係[a_\boldsymbol{k},a^\dagger_\boldsymbol{k’}]=\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)、[a_\boldsymbol{k},a_\boldsymbol{k’}]=[a^\dagger_\boldsymbol{k},a^\dagger_\boldsymbol{k’}]=0より）\\
&=&\frac{i}{2}\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3}\{e^{i\boldsymbol{k}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)}+e^{-i\boldsymbol{k}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)}\}（デルタ関数の公式 \int f(k’)\delta(k-k’)dk’=f(k) より）\\
&=&i\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}’)（デルタ関数の公式 \frac{1}{2\pi}\int e^{ik(x-x’)}dk=\delta(x-x’)および\delta(x-x’)=\delta(-x+x’)より）
\end{eqnarray}$$
となり、場の正準交換関係が確かめられる。今回は生成・消滅演算子から量子化したが、一般的には場の正準交換関係をセット（正準量子化）した後、生成・消滅演算子の交換関係を確認する。
ラグランジアン密度
場の解析力学でラグランジュ方程式に代入すると、クライン-ゴルドン方程式（波動方程式）が再現されるようにラグランジアンを考えると、
$$\fbox{\(\mathscr{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2\)}$$
となる。実際に計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}&=&\frac{\partial}{\partial\phi}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right\}-\partial_\mu\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu \phi)}\left\{\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right\}\\
&=&-m^2\phi-□\phi=0
\end{eqnarray}$$
となり、確かにクライン-ゴルドン方程式が導かれる。
\(\phi\)に正準共役の運動量
ラグランジアン密度より、\(\phi\)に正準共役の運動量を求めると
$$\begin{eqnarray}
\pi&=&\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{\phi}}\\
&=&\frac{\partial}{\partial\dot{\phi}}\left\{\frac{1}{2}(\dot{\phi}^2-\boldsymbol{\nabla}\phi^2)-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right\}\\
&=&\dot{\phi}
\end{eqnarray}$$
となる。
ハミルトニアン
ルジャンドル変換より、
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3\boldsymbol{x}(\pi\dot{\phi}-\mathscr{L})\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\left\{\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2\right)\right\}
\end{eqnarray}
となるから、ハミルトニアンは、
$$\boxed{H=\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\{\pi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\}}$$
となる。また、
$$\begin{eqnarray}
H&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\left\{\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}i\sqrt{\frac{\omega}{2}}i\sqrt{\frac{\omega’}{2}}(-ae^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})(-a’e^{-ik’x}+a’^\dagger e^{ik’x})+\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}i\frac{\boldsymbol{k}}{\sqrt{2\omega}}i\frac{\boldsymbol{k}’}{\sqrt{2\omega’}}(a e^{-ikx}-a^\dagger e^{ikx})(a’e^{-ik’x}-a’^\dagger e^{ik’x}) +\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}m^2\sqrt{\frac{1}{2\omega}}\sqrt{\frac{1}{2\omega’}}(a e^{-ikx}+a^\dagger e^{ikx})(a’e^{-ik’x}+a’^\dagger e^{ik’x})\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\left\{\frac{\sqrt{\omega\omega’}}{2}(-aa’e^{-ikx-ik’x}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x}+a^\dagger a’e^{ikx-ik’x}-a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x})+\frac{\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’}{2\sqrt{\omega\omega’}}(-aa’e^{-ikx-ik’x}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x}+a^\dagger a’e^{ikx-ik’x}-a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x})+\frac{m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}(aa’e^{-ikx-ik’x}+aa’^\dagger e^{-ikx+ik’x}+a^\dagger a’e^{ikx-ik’x}+a^\dagger a’^\dagger e^{ikx+ik’x})\right\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\left[\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’+m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{a^\dagger a’e^{-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}+aa’^\dagger e^{i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}\}-\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’-m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{a^\dagger a’^\dagger e^{-i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)-i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}+aa’e^{i(\boldsymbol{k}\boldsymbol{x}-\omega t)+i(\boldsymbol{k}’\boldsymbol{x}-\omega’t)}\}\right]\\
&=&\frac{1}{2}\iint d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’\left[\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’+m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{\delta(-\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)a^\dagger a’e^{i(\omega-\omega’)t}+\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)aa’^\dagger e^{-i(\omega-\omega’)t}\}-\frac{\omega\omega’+\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}’-m^2}{2\sqrt{\omega\omega’}}\{\delta(-\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)a^\dagger a’^\dagger e^{i(\omega+\omega’)t}+\delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)aa’e^{-i(\omega+\omega’)t}\}\right]（デルタ関数の公式 \frac{1}{2\pi}\int e^{i(k-k’)x}dx=\delta(k-k’)より）\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}\frac{\omega^2+\boldsymbol{k}^2+m^2}{2\omega}(a^\dagger a+aa^\dagger)（前式の第2項は、\boldsymbol{k}’=-\boldsymbol{k}の場合でも\omega=\omega’となるため、係数が\omega^2-\boldsymbol{k}^2-m^2=0となる）\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}\omega(a^\dagger a+aa^\dagger) （\omega^2=\boldsymbol{k}^2+m^2より）\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}\omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right)（[a_k,a_k^\dagger]=1より）
\end{eqnarray}$$
となる。定数項を削除すると、
$$\fbox{\(H=\int d^3\boldsymbol{k}\omega_\boldsymbol{k}a_\boldsymbol{k}^\dagger a_\boldsymbol{k}\)}$$
となる。ここで\(\omega_\boldsymbol{k}\)は粒子のエネルギーを表し、\(a^\dagger_\boldsymbol{k} a_\boldsymbol{k}=N_\boldsymbol{k}\)は個数演算子である。
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