スピノル場の量子化

スピノル場は、ディラック方程式で表される。スピノル場の量子化は、スカラー場の量子化を参考に
$\begin{array}{rcl} ψ & = & \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2 ω_{k}}} \sum_{s = 1, 2} (c_{s, k} u_{s, k} e^{- i k \cdot x} + d_{s, k}^{†} v_{s, k} e^{i k \cdot x}) \\ u_{s, k} & = & \sqrt{E + m} (\begin{array}{c} ϕ_{s} \\ \frac{σ \cdot p}{E + m} ϕ_{s} \end{array}), v_{s, k} = \sqrt{E + m} (\begin{array}{c} \frac{σ \cdot p}{E + m} χ_{s} \\ χ_{s} \end{array}) \end{array}$
となる。 $v$ のスピノル内の符号が、ディラック方程式を求めた時と違うのは、複素スカラー場の量子化と同様に、反粒子を表すため $ψ$ の第ニ項のEとpの符号を両方とも変えているからである。また、 $\sqrt{E + m}$ は、後の計算を楽にするための規格化因子である。

ラグランジアン密度

場のラグランジュ方程式に代入すると、ディラック方程式（波動方程式）が再現され、且つ、ラグランジアンが実数になるように考えると、
$L = \bar{ψ} (i \partial / - m) ψ$
となる。実際に計算してみると
$\begin{array}{rcl} \frac{\partial L}{\partial \bar{ψ}} - \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} \bar{ψ})} & = & (i \partial / - m) ψ = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial ψ} - \partial_{μ} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ψ)} & = & (0 - \bar{ψ} m) - \partial_{μ} {\bar{ψ} (i γ^{μ}) - 0} = \bar{ψ} (- i \overset{\leftarrow}{\partial /} - m) = 0 \end{array}$
となる。2つ目の式は、右から $γ^{0}$ を掛けて、
$\begin{array}{rcl} \bar{ψ} (- i \overset{\leftarrow}{\partial /} - m) γ^{0} & = & ψ^{†} γ^{0} (- i \overset{\leftarrow}{\partial_{μ}} γ^{μ} - m) γ^{0} \\ = & - i ψ^{†} \overset{\leftarrow}{\partial_{μ}} γ^{0} γ^{μ} γ^{0} - ψ^{†} γ^{0} γ^{0} m \\ = & ψ^{†} {- i \overset{\leftarrow}{\partial_{μ}} (γ^{μ})^{†} - m} （ γ^{0} γ^{μ} γ^{0} = (γ^{μ})^{†} および (γ^{0})^{2} = 1 より） \\ = & 0 \end{array}$
となり、確かにディラック方程式が導かれる。

$ψ$ に正準共役な運動量

ラグランジアン密度より、 $ψ$ に正準共役な運動量を求めると
$\begin{array}{rcl} π & = & \frac{\partial L}{\partial \dot{ψ}} \\ = & \frac{\partial}{\partial \dot{ψ}} \bar{ψ} β (i \partial_{t} + α \cdot i \nabla - β m) ψ \\ = & \bar{ψ} β i \\ = & ψ^{†} i \end{array}$
となる。

ハミルトニアン

ルジャンドル変換より、
$\begin{array}{rcl} H & = & \int d^{3} x (π \dot{ψ} - L) \\ = & \int d^{3} x {(ψ^{†} i) \dot{ψ} - ψ^{†} (i \partial_{t} + α \cdot i \nabla - β m) ψ} \\ = & \int d^{3} x {ψ^{†} (- α \cdot i \nabla + β m) ψ} \end{array}$
となるから、ディラック方程式 $i \partial_{t} = - α \cdot i \nabla + β m$ より、ハミルトニアンは、
$H = \int d^{3} x (ψ^{†} i \partial_{t} ψ)$
となる。また、
$\begin{array}{rcl} H & = & \int d^{3} x {\iint \frac{d^{3} k d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{1}{2 ω}} \sqrt{\frac{1}{2 ω^{'}}} \sum_{s = 1, 2} \sum_{s^{'} = 1, 2} (c^{' †} u^{' †} e^{i k^{'} \cdot x} + d^{'} v^{' †} e^{- i k^{'} \cdot x}) ω (c u e^{- i k \cdot x} - d^{†} v e^{i k \cdot x})} \\ = & \int d^{3} x [\iint \frac{d^{3} k d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{ω}{4 ω^{'}}} \sum_{s = 1, 2} \sum_{s^{'} = 1, 2} {c^{' †} u^{' †} c u e^{- i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) + i (k \cdot x - ω t)} - c^{' †} u^{' †} d^{†} v e^{- i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) - i (k \cdot x - ω t)} + d^{'} v^{' †} c u e^{i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) + i (k \cdot x - ω t)} - d^{'} v^{' †} d^{†} v e^{i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) - i (k \cdot x - ω t)}}] \\ = & \iint d^{3} k d^{3} k^{'} \sqrt{\frac{ω}{4 ω^{'}}} \sum_{s = 1, 2} \sum_{s^{'} = 1, 2} {δ (k - k^{'}) c^{' †} u^{' †} c u e^{- i (ω - ω^{'}) t} - δ (- k - k^{'}) c^{' †} u^{' †} d^{†} v e^{i (ω + ω^{'}) t} + δ (k + k^{'}) d^{'} v^{' †} c u e^{- i (ω + ω^{'}) t} - δ (- k + k^{'}) d^{'} v^{' †} d^{†} v e^{i (ω - ω^{'}) t}} \\ = & \frac{1}{2} \int d^{3} k \sum_{s = 1, 2} (c^{†} u^{†} c u - d v^{†} d^{†} v) （ u^{' †} v = v^{' †} u = 0 ※ 下記参照） \\ = & \frac{1}{2} \int d^{3} k 2 E \sum_{s = 1, 2} (c^{†} c - d d^{†}) （ u^{†} u 、 v v^{†} の計算は ※ 下記参照） \\ = & \int d^{3} k \sum_{s = 1, 2} ω (c^{†} c + d^{†} d + 1) （ E を ω に戻して、反交換関係 {c, c^{†}} = {d, d^{†}} = 1 より） \end{array}$
となる。定数項を削除すると、
$H = \int d^{3} k \sum_{s = 1, 2} ω_{k} (c_{s, k}^{†} c_{s, k} + d_{s, k}^{†} d_{s, k})$
となる。

個数演算子

$\begin{array}{rcl} N & = & \int d^{3} x ψ^{†} ψ \\ = & \int d^{3} x \iint \frac{d^{3} k d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{1}{2 ω}} \sqrt{\frac{1}{2 ω^{'}}} \sum_{s = 1, 2} \sum_{s^{'} = 1, 2} (c^{' †} u^{' †} e^{i k^{'} \cdot x} + d^{'} v^{' †} e^{- i k^{'} \cdot x}) (c u e^{- i k \cdot x} + d^{†} v e^{i k \cdot x}) \\ = & \int d^{3} x \iint \frac{d^{3} k d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} \sqrt{\frac{1}{2 ω}} \sqrt{\frac{1}{2 ω^{'}}} \sum_{s = 1, 2} \sum_{s^{'} = 1, 2} {c^{' †} u^{' †} c u e^{- i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) + i (k \cdot x - ω t)} + c^{' †} u^{' †} d^{†} v e^{- i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) - i (k \cdot x - ω t)} + d^{'} v^{' †} c u e^{i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) + i (k \cdot x - ω t)} + d^{'} v^{' †} d^{†} v e^{i (k^{'} \cdot x - ω^{'} t) - i (k \cdot x - ω t)}} \\ = & \iint d^{3} k d^{3} k^{'} \sqrt{\frac{1}{2 ω}} \sqrt{\frac{1}{2 ω^{'}}} \sum_{s = 1, 2} \sum_{s^{'} = 1, 2} {δ (k - k^{'}) c^{' †} u^{' †} c u e^{- i (ω - ω^{'}) t} + δ (- k - k^{'}) c^{' †} u^{' †} d^{†} v e^{i (ω + ω^{'}) t} + δ (k + k^{'}) d^{'} v^{' †} c u e^{- i (ω + ω^{'}) t} + δ (- k + k^{'}) d^{'} v^{' †} d^{†} v e^{i (ω - ω^{'}) t}} \\ = & \int d^{3} k \frac{1}{2 ω} \sum_{s = 1, 2} (c^{†} c u^{†} u + d d^{†} v v^{†}) \\ = & \int d^{3} k \sum_{s = 1, 2} (c^{†} c + d d^{†}) \end{array}$
となり、 $d d^{†}$ の反交換関係より、定数項を削除して
$N = \int d^{3} k \sum_{s = 1, 2} (c_{s, k}^{†} c_{s, k} - d_{s, k}^{†} d_{s, k})$
となる。

※ $u_{s}^{†} u_{s}$ 、 $v_{s}^{†} v_{s}$ 、 $u_{s}^{†} v_{s}$ 、 $v_{s}^{†} u_{s}$ の計算

$u_{i}^{†} u_{j} = v_{i}^{†} v_{j} = u_{i}^{†} v_{j} = v_{i}^{†} u_{j} = (E + m) (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + \frac{σ \cdot p}{E + m} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{σ \cdot p}{E + m}) = 0$
$\begin{array}{rcl} u_{i}^{†} u_{i} & = & (E + m) {ϕ^{2} + {(\frac{σ \cdot p}{E + m} ϕ)}^{2}} \\ = & E + m + \frac{1}{E + m} {[{(\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) p_{x} + (\begin{array}{c} 0 & - i \\ i & 0 \end{array}) p_{y} + (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) p_{z}} ϕ]}^{2} （ ϕ^{2} = 1 より） \\ = & E + m + \frac{1}{E + m} {(\begin{array}{c} p_{z} & p_{x} - i p_{y} \\ p_{x} + i p_{y} & - p_{z} \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})}^{2} もしくは、 = E + m + \frac{1}{E + m} {(\begin{array}{c} p_{z} & p_{x} - i p_{y} \\ p_{x} + i p_{y} & - p_{z} \end{array}) (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})}^{2} \\ = & E + m + \frac{1}{E + m} {(\begin{array}{c} p_{z} \\ p_{x} + i p_{y} \end{array})}^{2} もしくは、 = E + m + \frac{1}{E + m} {(\begin{array}{c} p_{x} - i p_{y} \\ - p_{z} \end{array})}^{2} \\ = & E + m + \frac{p^{2}}{E + m} （ p^{2} = p_{z}^{2} + (p_{x} - i p_{y}) (p_{x} + i p_{y}) より） \\ = & E + m + \frac{E^{2} - m^{2}}{E + m} \\ = & E + m + E - m \\ = & 2 E \end{array}$
同様に $v_{i}^{†} v_{i} = 2 E$ となる。