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スピノル場の量子化
スピノル場は、ディラック方程式で表される。スピノル場の量子化は、スカラー場の量子化を参考に
$$\boxed{\begin{eqnarray}
\psi&=&\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2\omega_\boldsymbol{k}}}\sum_{s=1,2}(c_{s,\boldsymbol{k}}u_{s,\boldsymbol{k}}e^{-ik\cdot x}+d_{s,\boldsymbol{k}}^\dagger v_{s,\boldsymbol{k}}e^{ik\cdot x})\\
u_{s,\boldsymbol{k}}&=&\sqrt{E+m}\left(\begin{array}{c}\phi_s\\ \frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E+m}\phi_s\end{array}\right) ,v_{s,\boldsymbol{k}}=\sqrt{E+m}\left(\begin{array}{c}\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E+m}\chi_s\\ \chi_s\end{array}\right)\\
\end{eqnarray}}$$
となる。\(v\)のスピノル内の符号が、ディラック方程式を求めた時と違うのは、複素スカラー場の量子化と同様に、反粒子を表すため\(\psi\)の第ニ項のEとpの符号を両方とも変えているからである。また、\(\sqrt{E+m}\)は、後の計算を楽にするための規格化因子である。
ラグランジアン密度
場のラグランジュ方程式に代入すると、ディラック方程式（波動方程式）が再現され、且つ、ラグランジアンが実数になるように考えると、
$$\boxed{\mathscr{L}=\bar{\psi}(i\partial\hspace{-0.5em}/-m)\psi}$$
となる。実際に計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\bar{\psi}}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\psi})}&=&(i\partial\hspace{-0.5em}/-m)\psi=0\\
\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\psi}-\partial_\mu\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}&=&(0-\bar{\psi}m)-\partial_\mu\{\bar{\psi}(i\gamma^\mu)-0\}=\bar{\psi}(-i\overleftarrow{\partial\hspace{-0.5em}/}-m)=0
\end{eqnarray}$$
となる。2つ目の式は、右から\(\gamma^0\)を掛けて、
$$\begin{eqnarray}
\bar{\psi}(-i\overleftarrow{\partial\hspace{-0.5em}/}-m)\gamma^0&=&\psi^\dagger\gamma^0(-i\overleftarrow{\partial_\mu}\gamma^\mu-m)\gamma^0\\
&=&-i\psi^\dagger\overleftarrow{\partial_\mu}\gamma^0\gamma^\mu \gamma^0-\psi^\dagger\gamma^0\gamma^0 m\\
&=&\psi^\dagger\{-i\overleftarrow{\partial_\mu}(\gamma^\mu)^\dagger-m\}（\gamma^0\gamma^\mu \gamma^0=(\gamma^\mu)^\daggerおよび(\gamma^0)^2=1より）\\
&=&0
\end{eqnarray}$$
となり、確かにディラック方程式が導かれる。
\(\psi\)に正準共役な運動量
ラグランジアン密度より、\(\psi\)に正準共役な運動量を求めると
$$\begin{eqnarray}
\pi&=&\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{\psi}}\\
&=&\frac{\partial}{\partial\dot{\psi}}\bar{\psi}\beta(i\partial_t+\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}-\beta m)\psi\\
&=&\bar{\psi}\beta i\\
&=&\psi^\dagger i
\end{eqnarray}$$
となる。
ハミルトニアン
ルジャンドル変換より、
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3\boldsymbol{x}(\pi\dot{\psi}-\mathscr{L})\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\{(\psi^\dagger i)\dot{\psi}-\psi^\dagger(i\partial_t+\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}-\beta m)\psi\}\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\{\psi^\dagger(-\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}+\beta m)\psi\}
\end{eqnarray}
となるから、ディラック方程式\(i\partial_t= -\boldsymbol{\alpha}\cdot i\boldsymbol{\nabla}+\beta m\)より、ハミルトニアンは、
$$\boxed{H=\int d^3\boldsymbol{x}(\psi^\dagger i\partial_t\psi)}$$
となる。また、
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3\boldsymbol{x}\left\{\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{1}{2\omega}}\sqrt{\frac{1}{2\omega’}} \sum_{s=1,2} \sum_{s’=1,2}(c’^\dagger u’^\dagger e^{ik’\cdot x}+d’v’^\dagger e^{-ik’\cdot x})\omega(cue^{-ik\cdot x}-d^\dagger ve^{ik\cdot x})\right\}\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\left[\iint\frac{d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega}{4\omega’}}\sum_{s=1,2} \sum_{s’=1,2}\{c’^\dagger u’^\dagger cue^{-i(\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)+i (\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}-c’^\dagger u’^\dagger d^\dagger ve^{-i(\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)-i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} +d’v’^\dagger cue^{i (\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)+i (\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} -d’v’^\dagger d^\dagger ve^{i (\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)-i (\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}\}\right]\\
&=&\iint d^3\boldsymbol{k}d^3\boldsymbol{k}’\sqrt{\frac{\omega}{4\omega’}}\sum_{s=1,2} \sum_{s’=1,2}\{\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)c’^\dagger u’^\dagger cue^{-i(\omega-\omega’)t}-\delta(-\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)c’^\dagger u’^\dagger d^\dagger ve^{i(\omega+\omega’)t} +\delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)d’v’^\dagger cue^{-i(\omega+ \omega’)t} -\delta(-\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’) d’v’^\dagger d^\dagger ve^{i(\omega-\omega’)t}\}\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}\sum_{s=1,2}(c^\dagger u^\dagger cu-dv^\dagger d^\dagger v)（u’^\dagger v= v’^\dagger u=0※下記参照）\\
&=&\frac{1}{2}\int d^3\boldsymbol{k}2E\sum_{s=1,2}(c^\dagger c-dd^\dagger)（u^\dagger u、vv^\daggerの計算は※下記参照）\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}\sum_{s=1,2}\omega(c^\dagger c+d^\dagger d+1)（Eを\omegaに戻して、反交換関係\{c,c^\dagger\}=\{d,d^\dagger\}=1より）
\end{eqnarray}
となる。定数項を削除すると、
$$\boxed{H= \int d^3\boldsymbol{k}\sum_{s=1,2}\omega _\boldsymbol{k}(c^\dagger_{s,\boldsymbol{k}} c _{s,\boldsymbol{k}} +d^\dagger_{s,\boldsymbol{k}} d_{s,\boldsymbol{k}})}$$
となる。
個数演算子
$$\begin{eqnarray}
N&=&\int d^3\boldsymbol{x}\psi^\dagger\psi\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k} d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{1}{2\omega}} \sqrt{\frac{1}{2\omega’}}\sum_{s=1,2} \sum_{s’=1,2}(c’^\dagger u’^\dagger e^{ik’\cdot x}+d’v’^\dagger e^{-ik’\cdot x})(cue^{-ik\cdot x}+d^\dagger ve^{ik\cdot x})\\
&=&\int d^3\boldsymbol{x}\iint\frac{d^3\boldsymbol{k} d^3\boldsymbol{k}’}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{1}{2\omega}}\sqrt{\frac{1}{2\omega’}}\sum_{s=1,2}\sum_{s’=1,2}\{c’^\dagger u’^\dagger cue^{-i(\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)+i (\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}+c’^\dagger u’^\dagger d^\dagger ve^{-i(\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)-i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} +d’v’^\dagger cue^{i (\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)+i (\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} +d’v’^\dagger d^\dagger ve^{i (\boldsymbol{k}’\cdot \boldsymbol{x}-\omega’ t)-i (\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}\}\\
&=&\iint d^3\boldsymbol{k} d^3\boldsymbol{k}’\sqrt{\frac{1}{2\omega}}\sqrt{\frac{1}{2\omega’}}\sum_{s=1,2} \sum_{s’=1,2}\{\delta(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)c’^\dagger u’^\dagger cue^{-i(\omega-\omega’)t}+\delta(-\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}’)c’^\dagger u’^\dagger d^\dagger ve^{i(\omega+\omega’)t} +\delta(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’)d’v’^\dagger cue^{-i(\omega+ \omega’)t} +\delta(-\boldsymbol{k}+\boldsymbol{k}’) d’v’^\dagger d^\dagger ve^{i(\omega-\omega’)t}\}\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}\frac{1}{2\omega}\sum_{s=1,2}(c^\dagger c u^\dagger u+dd^\dagger vv^\dagger)\\
&=&\int d^3\boldsymbol{k}\sum_{s=1,2}(c^\dagger c+dd^\dagger)
\end{eqnarray}$$
となり、\(dd^\dagger\)の反交換関係より、定数項を削除して
$$\boxed{N=\int d^3\boldsymbol{k}\sum_{s=1,2}(c^\dagger_{s,\boldsymbol{k}}c_{s,\boldsymbol{k}}-d^\dagger_{s,\boldsymbol{k}}d_{s,\boldsymbol{k}})}$$
となる。
※\(u^\dagger_s u_s\)、\(v^\dagger_s v_s\)、\(u^\dagger_s v_s\)、\(v^\dagger_s u_s\)の計算
$$u^\dagger_i u_j=v^\dagger_iv_j=u^\dagger_i v_j=v^\dagger_iu_j=(E+m)\left(1\cdot 0+0\cdot 1+\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E+m}\cdot 0+0\cdot\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E+m}\right)=0$$
$$\begin{eqnarray}
u^\dagger_i u_i&=&(E+m)\left\{\phi^2+\left(\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{p}}{E+m}\phi\right)^2\right\}\\
&=&E+m+\frac{1}{E+m}\left[\left\{\begin{pmatrix}
0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}p_x+ \begin{pmatrix}
0 & -i \\i & 0\end{pmatrix}p_y+ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}p_z\right\}\phi\right]^2（\phi^2=1より）\\
&=&E+m+\frac{1}{E+m}\left\{\begin{pmatrix}
p_z & p_x-ip_y \\p_x+ip_y & -p_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}^2もしくは、= E+m+\frac{1}{E+m}\left\{\begin{pmatrix}
p_z & p_x-ip_y \\p_x+ip_y & -p_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\}^2\\
&=&E+m+\frac{1}{E+m}\begin{pmatrix}
p_z\\p_x+ip_y\end{pmatrix}^2もしくは、= E+m+\frac{1}{E+m}\begin{pmatrix}p_x-ip_y\\-p_z\end{pmatrix}^2\\
&=&E+m+\frac{\boldsymbol{p}^2}{E+m}（\boldsymbol{p}^2=p_z^2+(p_x-ip_y)(p_x+ip_y)より）\\
&=&E+m+\frac{E^2-m^2}{E+m}\\
&=&E+m+E-m\\
&=&2E
\end{eqnarray}$$
同様に\(v^\dagger_iv_i=2E\)となる。
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