漸近場とS行列

漸近条件

加速器実験では、加速器のビームは細いが、素粒子から見れば十分に広い空間なので、相互作用が起こる十分に過去もしくは未来の状態（\(t\rightarrow\pm\infty\)）は粒子を自由粒子と考えることができる。この様な仮定を漸近条件と言う。

漸近場

フォック空間で考えると、漸近条件は自由粒子の個数を表す基底となる。漸近条件の基底を漸近場と言い、衝突前の始状態を\(|\alpha\ \mathrm{in}\rangle\)、衝突後の終状態を\(\langle\beta\ \mathrm{out}|\)と表す。inとoutは時刻を表し、始状態と終状態が別々の時刻の基底で、基底が時間発展するハイゼンベルグ描像となっている。ちなみに\(\langle\beta\ \mathrm{in}|\)と\(\langle\beta\ \mathrm{out}|\)は同じ粒子の状態を表しており、単にどの時刻の基底を使って表しているかが違うだけとなる。（ハイゼンベルグ描像の基底の時間発展式は相互作用描像の基底ベクトルの時間発展を参照）

S行列

加速器実験では、始状態の粒子をセットし、終状態の粒子を観測する。つまり始状態と終状態の粒子の個数と運動量は既知であり、実験で知りたいのは始状態から終状態に遷移する確率となる。ハイゼンベルグ描像では、終状態の基底\(\langle\beta\ \mathrm{out}|\)と状態ベクトルの内積が求めたい確率振幅\(\mathscr{A}_{\beta\alpha}\)となる。状態ベクトルは始状態の基底\(|\alpha\ \mathrm{in}\rangle\)と一致するので、時間発展を表す行列を\(S\)とすると、確率振幅は、

$$\boxed{\mathscr{A}_{\beta\alpha}=\langle\beta\ \mathrm{in}|S|\alpha\ \mathrm{in}\rangle=\langle\beta\ \mathrm{out}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle}$$

となる。行列\(S\)をS行列と言い、ハイゼンベルグ描像の基底の時間発展式より、相互作用項を含むハミルトニアンを使って

$$S=e^{iH_0(t_{out}-t_{in})}e^{-iH(t_{out}-t_{in})}$$

と定義される。（\(H\)と\(H_0\)は非可換なので注意する）\(e^{iH_0(t_{out}-t_{in})}\)は、確率振幅で考えると、

$$\begin{eqnarray}
\mathscr{A}_{\beta\alpha}
&=&\langle\beta\ \mathrm{in}|e^{iE_0(t_{out}-t_{in})}e^{-iH(t_{out}-t_{in})}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle\\
&=&e^{iE_0(t_{out}-t_{in})}\langle\beta\ \mathrm{in}|e^{-iH(t_{out}-t_{in})}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle\\
&=&e^{iE_0(t_{out}-t_{in})}\langle\beta\ \mathrm{out}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle
\end{eqnarray}$$

となり、単なる規格化因子の意味しか持たず、相互作用が起こらない場合、つまり\(H=H_0\)の時にS行列が1となるように入れてあるが省略することも多い。

S行列の成分

簡単にするため、フォック空間を2次元で考える。\(\langle\beta\ \mathrm{in}|\)や\(|\alpha\ \mathrm{in}\rangle\)を\((0,1)\)もしくは\((1,0)\)、\(\langle\beta\ \mathrm{out}|\)を\((a,1)\)もしくは\((1,b)\)とする。（但し、相互作用がない場合は\(|\alpha\ \mathrm{in}\rangle=\langle\beta\ \mathrm{in}|=\langle\beta\ \mathrm{out}|\)となる）すると、確率振幅の式でS行列の成分が

$$\mathscr{A}_{\beta\alpha}=\langle\beta\ \mathrm{in}|
\begin{pmatrix}
1 & b \\
a & 1
\end{pmatrix}
|\alpha\ \mathrm{in}\rangle$$

となっていれば常に成り立ち、\(|\alpha\ \mathrm{in}\rangle=(1,0)\)から\(\langle\beta\ \mathrm{in}|=(0,1)\)に遷移する確率振幅が\(a\)、\(|\alpha\ \mathrm{in}\rangle=(0,1)\)から\(\langle\beta\ \mathrm{in}|=(1,0)\)に遷移する確率振幅が\(b\)、相互作用が無い場合は1となり、\(\langle\beta\ \mathrm{out}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle
\)と同じ計算結果になる。これは無限次元でも成り立ち、S行列の成分\(S_{\beta\alpha}\)は、

$$S_{\beta\alpha}=\langle\beta\ \mathrm{out}|\alpha\ \mathrm{in}\rangle$$

となる。

シュレディンガー描像、相互作用描像の場合

これまでハイゼンベルグ描像で考えてきたが、シュレディンガー描像や相互作用描像の場合を考える。以下、フォック空間の状態ベクトルを\(|\Psi\rangle\)、始状態の基底を\(|i\rangle\)、終状態の基底を\(|f\rangle\)と書く。それぞれの描像で確率振幅を考えると

$$\begin{eqnarray}
\mathscr{A}_{fi}
&=&\langle f(t_i)|S|i(t_i)\rangle=\langle f(t_i)|e^{iH_0(t_f-t_i)}e^{-iH(t_f-t_i)}|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&e^{iE_0(t_f-t_i)}{}_S\langle f(t_i)|\Psi(t_f)\rangle_S\\
&=&e^{iE_0(t_f-t_i)}{}_H\langle f(t_f)|\Psi(t_i)\rangle_H\\
&=&\langle f(t_i)|e^{-iH_0(t_f-t_i)}e^{iH_0(t_f-t_i)}e^{iH_0(t_f-t_i)}e^{-iH(t_f-t_i)}|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&e^{iE_0(t_f-t_i)}{}_D\langle f(t_f)|\Psi(t_f)\rangle_D
\end{eqnarray}$$

となる。相互作用描像では、相互作用描像の状態ベクトルの時間発展より

$$|\Psi(t_f)\rangle_D=S|\Psi(t_i)\rangle_D$$

となっている。

相互作用描像でのS行列の計算

ハミルトニアンの相互作用項を\(H_I\)とし、以下、すべての相互作用描像を表す添字\(D\)は省略する。相互作用描像の微分方程式より

$$i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle=H_I(t)|\Psi(t)\rangle$$

となり、両辺を\(t_i\)から\(t_f\)まで積分すると

$$|\Psi(t_f)\rangle=|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dtH_I(t)|\Psi(t)\rangle$$

となる。ここから、時間を\(n\)分割して、少しずつ進めて考える。\(t_i=t_n\)から\(t_f=t_0\)まで考えると、最初の計算は

$$\begin{eqnarray}
|\Psi(t_{n-1})\rangle&=&|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_n H_I(t_n)|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&\{1+(-i)\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_nH_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle
\end{eqnarray}$$

となる。次の計算は

$$\begin{eqnarray}
|\Psi(t_{n-2})\rangle&=&|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}H_I(t_{n-1})|\Psi(t_{n-1})\rangle\\
&=&|\Psi(t_i)\rangle+(-i)\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}H_I(t_{n-1})\{1+(-i)\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_n H_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&\{1+(-i)\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}H_I(t_{n-1})+(-i)^2\int^{t_{n-2}}_{t_i}dt_{n-1}\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_n H_I(t_{n-1})H_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle
\end{eqnarray}$$

となる。\(n\)回繰り返すと

$$|\Psi(t_f)\rangle=\{1+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dt_1H_I(t_1)+\cdots+(-i)^n\int^{t_f}_{t_i}dt_1\int^{t_1}_{t_i}dt_2\cdots\int^{t_{n-1}}_{t_i}dt_nH_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle$$

となる。積分変数の大小関係は\(t_f>t_1>t_2>\cdots>t_{n-1}>t_n>t_i\)であるから、ここで被積分関数に階段関数を掛けて、積分の上限を\(t_f\)にそろえると

$$\begin{eqnarray}
|\Psi(t_f)\rangle&=&\{1+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dt_1H_I(t_1)+\cdots+(-i)^n\int^{t_f}_{t_i}dt_1\int^{t_f}_{t_i}dt_2\cdots\int^{t_f}_{t_i}dt_nH_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n)\theta(t_1-t_2)\theta(t_2-t_3)\dots\theta(t_{n-1}-t_n)\}|\Psi(t_i)\rangle\\
&=&[1+(-i)\int^{t_f}_{t_i}dt_1H_I(t_1)+\cdots+\frac{(-i)^n}{n!}\int^{t_f}_{t_i}dt_1\int^{t_f}_{t_i}dt_2\cdots\int^{t_f}_{t_i}dt_n T\{H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_n)\}]|\Psi(t_i)\rangle（時間順序積の定義より）
\end{eqnarray}$$

となる。漸近場の仮定から、\(t_i\)を\(-\infty\)、\(t_f\)を\(\infty\)とし、さらにハミルトニアン密度を使うと、S行列は

$$\boxed{\begin{eqnarray}
S&=&1+(-i)\int^\infty_{-\infty} d^4 x_1 \mathscr{H}_I(x_1)+\cdots+\frac{(-i)^n}{n!}\int^\infty_{-\infty}d^4x_1\int^\infty_{-\infty}d^4x_2\cdots\int^\infty_{-\infty}d^4x_n T\{\mathscr{H}_I(x_1)\mathscr{H}_I(x_2)\cdots\mathscr{H}_I(x_n)\}\\
&=&T\exp\{(-i)\int^\infty_{-\infty}d^4x\mathscr{H}_I(x)\}
\end{eqnarray}}$$

となる。

一次の摂動

S行列の計算より、一次の摂動は、

$$\mathscr{A}_{fi}=\langle f(t_i)|S|i(t_i)\rangle=\langle f(t_i)|i(t_i)\rangle+\langle f(t_i)|\left\{(-i)\int^\infty_{-\infty}d^4x\mathscr{H}_I(x)\right\}|i(t_i)\rangle$$

となる。\(\langle f|\neq|i\rangle\)のとき、第一項は0となるので、

$$\boxed{\mathscr{A}_{fi}=-i\int^{\infty}_{-\infty}d^4x\langle f(t_i)|\mathscr{H}_I(x)|i(t_i)\rangle}$$

となる。