階段関数（ステップ関数）

階段関数とは

変数が0より大きいとき1となり、0より小さいとき0となる関数を階段関数、もしくはステップ関数と言い、記号$\theta$で表す。

$$\begin{array}{r}\theta (t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\geqq 0)\\ 0& (t<0)\end{array}\end{array}$$

階段関数の微分

階段関数の微分は、グラフの形から明らかにデルタ関数となる。

$$\frac{d\theta (t)}{dt}=\delta (t)$$

階段関数の積分表示

階段関数の積分表示は、

$$\theta (t)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\omega t}}{\omega -i\epsilon }d\omega$$

となる。証明は、複素関数

$$f(z)=\frac{e^{izt}}{z-i\epsilon }$$

を用いて行う。