複素積分とコーシーの積分定理

複素積分

複素数$z$の関数$f(z)$を積分することを考える。

$$I={\int }_{C}f(z)dz$$

実数の積分との違いは、変数が複素数のため、積分範囲が数直線上ではなく、複素平面上になる。$dz$は複素平面上の微小線分だから、積分範囲は複素平面上の任意の経路$C$となり、その経路に従って複素数が変化する。

実際の計算例

任意の経路と言っても、実際に計算するには経路が適切な関数になっている必要がある。例えば、複素平面の原点と$1+i$を結ぶ直線を経路$C$とし、複素関数$f(z)=z$の積分を考える。複素数$z=a+ib$のとき経路$C$では$a=b$だから

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{C}f(z)dz& =& {\int }_0^{1+i}zdz\\ & =& {\int }_0^1(a+ia)\frac{dz}{da}da\\ & =& {\int }_0^1(a+ia)(1+i)da\\ & =& {\int }_0^{1}2iada\\ & =& [i{a}^2{]}_0^1\\ & =& i\end{array}$$

となる。

複素積分の性質

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{C}f(z)dz& =& {\int }_{C_1}f(z)dz+{\int }_{C_2}f(z)dz（\mathrm{但}\mathrm{し}C=C_1+C_2）\\ {\int }_{C}f(z)dz& =& -{\int }_{-C}f(z)dz\end{array}$$

コーシーリーマンの関係式

複素関数が複素数で微分可能なことを正則と言う。（例えば関数$f(z)=1/z$の時の原点は正則では無い）複素関数$f(z)=A+iB$を複素数$z=a+ib$で微分するとき、正則である必要充分条件は、

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{lll}\frac{\partial A}{\partial a}& =& \frac{\partial B}{\partial b}\\ \frac{\partial B}{\partial a}& =& -\frac{\partial A}{\partial b}\end{array}\end{array}$$

となり、コーシーリーマンの関係式と言う。（証明省略）

コーシーの積分定理

経路$C$が任意の閉曲線となっている場合を考える。複素関数$f(z)=A+iB$、複素数$z=a+ib$のとき

$$\begin{array}{rcl}{\oint }_{C}f(z)dz& =& {\oint }_C(A+iB)(da+idb)\\ & =& {\oint }_C(Ada+iAdb+iBda-Bdb)\\ & =& {\oint }_C(Ada-Bdb)+i{\oint }_C(Adb+Bda)\\ & =& {\iint }_D(-\frac{\partial B}{\partial a}-\frac{\partial A}{\partial b})dadb+i{\iint }_D(\frac{\partial A}{\partial a}-\frac{\partial B}{\partial b})dadb（\mathrm{グ}\mathrm{リ}\mathrm{ー}\mathrm{ン}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{よ}\mathrm{り}\mathrm{線}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{を}\mathrm{面}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{に}\mathrm{す}\mathrm{る}）\end{array}$$

となる。$D$は経路$C$内の面積である。面積$D$内がすべて正則の時は、コーシーリーマンの関係式よってそれぞれの項は$0$になるから、

$$\boxed{{\oint }_{C}f(z)dz=0}$$

となり、この式をコーシーの積分定理と言う。

積分経路

コーシーの積分定理を使うと、2点間ABの経路は、

$$\begin{array}{rcl}{\oint }_{C}f(z)dz& =& {\int }_{C_1(A\to B)}f(z)dz+{\int }_{C_2(B\to A)}f(z)dz\\ & =& {\int }_{C_1(A\to B)}f(z)dz-{\int }_{-C_2(A\to B)}f(z)dz\\ & =& 0\end{array}$$

だから、

$${\int }_{C_1(A\to B)}f(z)dz={\int }_{-C_2(A\to B)}f(z)dz$$

となり、コーシーの積分定理が成り立つ複素積分では、複素平面上のどのような経路を辿っても積分値は変わらないことがわかる。

コーシーの積分公式

コーシーの積分定理は、経路内側の点が全て正則である必要があったが、今度は正則ではない点（特異点）を含む場合を考える。まず、特異点を$a$とし、$a$を中心に大小２つの円を書く。この時、積分経路を大きい円上のスタート地点から小さい円に向かう直線$l$を通り、小さい円を左回りで一周$C$し、来た直線を戻り、大きい円を今度は右回りで一周$-C^{\prime }$（マイナスの符号は小さい円と逆回りのため。一般的に左回りを正、右回りを負とする）し、スタート地点に戻るコースとする。そうすると、積分経路の内側は大小２つの円の間となり、特異点$a$は含まれない。したがってコーシーの積分定理が使えて、

$${\int }_{l}f(z)dz+{\oint }_{C}f(z)dz+{\int }_{-l}f(z)dz+{\oint }_{-C^{\prime }}f(z)dz=0$$

となり、

$${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_{C^{\prime }}f(z)dz$$

となる。つまり同じ特異点を内側に持つ同じ向きの一周積分の積分値は等しいことになる。積分経路$C$の円の半径を$r$とすると、積分経路上の$z$は、

$$z=r{e}^{i\theta }+a$$

となる。次に$f(z)$を$z-a$で割って積分すると、

$$\begin{array}{rcl}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz& =& {\int }_0^{2\pi }\frac{f(r{e}^{i\theta }+a)}{r{e}^{i\theta }+a-a}\frac{dz}{d\theta }d\theta \\ & =& {\int }_0^{2\pi }\frac{f(r{e}^{i\theta }+a)}{r{e}^{i\theta }}ir{e}^{i\theta }d\theta \\ & =& i{\int }_0^{2\pi }f(r{e}^{i\theta }+a)d\theta \\ & =& i{\int }_0^{2\pi }f(a)d\theta （\mathrm{先}\mathrm{程}\mathrm{の}\mathrm{考}\mathrm{察}\mathrm{か}\mathrm{ら}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{を}\mathrm{変}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{も}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{値}\mathrm{は}\mathrm{変}\mathrm{わ}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}\mathrm{の}\mathrm{で}、r\to 0\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}）\\ & =& if(a)[\theta {]}_0^{2\pi }\\ & =& 2\pi if(a)\end{array}$$

となる。したがって

$$\boxed{{\displaystyle f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz}}$$

となり、この式をコーシーの積分公式と言う。