非同次の波動方程式

非同次の波動関数とは

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}\varphi (\mathit{x},t)=(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\varphi (\mathit{x},t)=-f(\mathit{x},t)}}$$
一般的な波動方程式は、右辺が0ですべての関数が2階の微分となっているが、その場合を同次と言う。上記の波動関数は、右辺が0ではなく、このような場合を非同次（もしくは非斉次）と言う。

非同次の波動方程式の特殊解

領域$V$の外で0になる関数$f(\mathit{x},t)$に対する上記の非同次の波動方程式の解は、
$$\boxed{{\displaystyle \varphi (\mathit{x},t)=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}d\mathit{y}}}$$
となる。

特殊解の証明

証明は、特殊解を非同次の波動方程式に代入して$-f(x)$となれば良いが、$\mathit{y}=\mathit{x}$のとき、特殊解の被積分関数の分母が0になり発散してしまうので、まずは、$y$の積分領域$V$を$x$を含む領域$V_i$と$x$を含まない領域$V_e$に分けて
$$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}\varphi =\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_i}\frac{f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}d\mathit{y}+\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_e}\frac{f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}d\mathit{y}$$
を考える。領域$V_e$では発散しないのでそのまま計算すると、
$$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_e}\frac{f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}d\mathit{y}=\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_e}\{\mathrm{\Delta }\frac{f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}\cdot \frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}\}d\mathit{y}=0（\mathrm{\Delta }\mathrm{は}\mathit{x}\mathrm{に}\mathrm{の}\mathrm{み}\mathrm{作}\mathrm{用}\mathrm{す}\mathrm{る}。※\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{は}\mathrm{下}\mathrm{記}\mathrm{参}\mathrm{照}）$$
となる。したがって、この特殊解を非同次の波動方程式に代入して値を持つのは、領域$V_i$の$\mathit{x}=\mathit{y}$の時のみだから、非同次の波動方程式は、デルタ関数を使って
$$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}\varphi =-{\int }_V\delta (\mathit{y}-\mathit{x})f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})d\mathit{y}=-f(\mathit{x},t)$$
のように書ける。ここでグリーン関数$G$を
$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }G(\mathit{y}-\mathit{x})=-\delta (\mathit{y}-\mathit{x})}}$$
と定義すると、
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}{\int }_{V}G(\mathit{y}-\mathit{x})f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})d\mathit{y}& =& {\int }_V(\mathrm{\Delta }G\cdot f+G\mathrm{\Delta }f-\frac{1}{c^2}\frac{\partial G}{\partial t^2}f-G\frac{1}{c^2}\frac{\partial f}{\partial t^2})d\mathit{y}（\mathrm{第}3\mathrm{項}\mathrm{は}0。\mathrm{第}2\mathrm{項}\mathrm{と}\mathrm{第}4\mathrm{項}\mathrm{は}\mathrm{打}\mathrm{ち}\mathrm{消}\mathrm{し}\mathrm{合}\mathrm{う}。※\mathrm{第}2\mathrm{項}\mathrm{の}\mathrm{計}\mathrm{算}\mathrm{は}\mathrm{下}\mathrm{記}\mathrm{参}\mathrm{照}）\\ & =& {\int }_V\mathrm{\Delta }G(\mathit{y}-\mathit{x})\cdot f(\mathit{y},t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})d\mathit{y}\\ & =& -f(\mathit{x}\mathbf{,}\mathit{t})\end{array}$$
となるので、グリーン関数と特殊解を見比べて、
$$G(\mathit{y}-\mathit{x})=\frac{1}{4\pi }\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}$$
となっていれば、特殊解が非同次の波動方程式を満たすことを証明できる。$\mathit{r}=\mathit{y}-\mathit{x}$として、グリーン関数の定義式より、
$$\mathrm{\Delta }G(\mathit{r})=-\frac{1}{(2\pi {)}^3}\int e^{i\mathit{k}\cdot \mathit{r}}d\mathit{k}（\mathrm{デ}\mathrm{ル}\mathrm{タ}\mathrm{関}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{フ}\mathrm{リ}\mathrm{ー}\mathrm{エ}\mathrm{変}\mathrm{換}\mathrm{よ}\mathrm{り}）$$
となるので、$\mathit{x}$で微分して右辺になるように考えると、グリーン関数は、
$$G(\mathit{r})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\int \frac{1}{k^2}{e}^{i\mathit{k}\cdot \mathit{r}}d\mathit{k}$$
となる。更に極座標で考えると
$$\begin{array}{rcl}G(\mathit{r})& =& \frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dk{\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{2\pi }d\phi \frac{1}{k^2}{e}^{ikr\cos \theta }{k}^2\sin \theta \\ & =& -\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dk{\int }_1^{-1}d\mu {\int }_0^{2\pi }d\phi e^{ikr\mu }（\cos \theta =\mu \mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}、-\sin \theta =\frac{d\mu }{d\theta }\mathrm{よ}\mathrm{り}）\\ & =& \frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dk{\int }_{-1}^{1}d\mu [\phi e^{ikr\mu }{]}_0^{2\pi }\\ & =& \frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dk{\left[\frac{1}{ikr}{e}^{ikr\mu }\right]}_{-1}^1\\ & =& \frac{1}{(2\pi {)}^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dk\frac{1}{ikr}2i\sin (kr)（e^{\pm ikr}=\cos (kr)\pm i\sin (kr)\mathrm{よ}\mathrm{り}）\\ & =& \frac{1}{2{\pi }^{2}r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dt\frac{\sin t}{t}（t=kr\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}\mathrm{と}\frac{dt}{dk}=r\mathrm{よ}\mathrm{り}）\\ & =& \frac{1}{4\pi r}（{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}\mathrm{よ}\mathrm{り}）\end{array}$$
となリ、確かに先程の式のとおりなので、特殊解が非同次の波動方程式を満たすことがわかる。

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※$\mathrm{\Delta }\frac{f}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}$の計算について
$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}|\mathit{y}-\mathit{x}|& =& \frac{\partial }{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}\cdot 2(y_1-x_1)\cdot -1=-\frac{y_1-x_1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}\\ \frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}& =& -\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2}\cdot -\frac{y_1-x_1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}=\frac{y_1-x_1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}\\ \frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}& =& -\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}-3\frac{y_1-x_1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^4}\cdot -\frac{y_1-x_1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}=\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^5}\{3(y_1-x_1{)}^2-|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2\}\\ \frac{\partial }{\partial x_1}f(\mathit{y},u)& =& \frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{\partial }{\partial x_1}(t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})=-\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{y_1-x_1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}\\ \frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}f(\mathit{y},u)& =& -\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{y_1-x_1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}-\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{y_1-x_1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}=\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2}-\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2}{c|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}+\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}\end{array}$$
および、$(ab{)}^{\prime \prime }=((ab{)}^{\prime }{)}^{\prime }=(a^{\prime }b+a{b}^{\prime }{)}^{\prime }=a^{\prime \prime }b+2a^{\prime }{b}^{\prime }+a{b}^{\prime \prime }$を使って、
$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}\frac{f(\mathit{y},u)}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}& =& \{\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2}-\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2}{c|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}+\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}\}\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}+2(-\frac{\partial }{\partial u}f(\mathit{y},u)\cdot \frac{y_1-x_1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|})\frac{y_1-x_1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}+f(\mathit{y},u)\frac{1}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^5}\{3(y_1-x_1{)}^2-|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2\}\\ & =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2-3(y_1-x_1{)}^2}{c|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^4}+f\frac{3(y_1-x_1{)}^2-|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^5}\end{array}$$
となる。$x_2$、$x_3$も同様に計算して
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }\frac{f}{|\mathit{y}-\mathit{x}|}& =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{3|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2-3(y_1-x_1{)}^2-3(y_2-x_2{)}^2-3(y_3-x_3{)}^2}{c|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^4}+f\frac{3(y_1-x_1{)}^2+3(y_2-x_2{)}^2+3(y_3-x_3{)}^2-3|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2}{|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^5}\\ & =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot \frac{1}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}|}\\ & =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}\frac{{\partial }^{2}t}{\partial u^2}\cdot \frac{1}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}|}\\ & =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}\cdot \frac{1}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}|}（\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}(t\pm \frac{|\mathit{y}-\mathit{x}|}{c})=1\mathrm{よ}\mathrm{り}）\end{array}$$
となる。

※$\mathrm{\Delta }f$の計算について
上記の計算より、
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }f& =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}{c^2|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^2}-\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}{c|\mathit{y}-\mathit{x}{|}^3}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}\\ & =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot \frac{1}{c^2}-\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{1}{c|\mathit{y}-\mathit{x}|}\\ & =& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}\cdot \frac{1}{c^2}（\mathrm{先}\mathrm{程}\mathrm{と}\mathrm{同}\mathrm{じ}\mathrm{理}\mathrm{由}\mathrm{で}u\mathrm{を}t\mathrm{に}\mathrm{す}\mathrm{る}）\end{array}$$
となる。