非同次の波動方程式

非同次の波動関数とは

$$\boxed{\square\phi(\boldsymbol{x},t)=\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\right)\phi(\boldsymbol{x},t)=-f(\boldsymbol{x},t)}$$
一般的な波動方程式は、右辺が0ですべての関数が2階の微分となっているが、その場合を同次と言う。上記の波動関数は、右辺が0ではなく、このような場合を非同次（もしくは非斉次）と言う。

非同次の波動方程式の特殊解

領域\(V\)と、その外で0になる関数\(f(\boldsymbol{x},t)\)に対する上記の非同次の波動方程式の解は、
$$\boxed{\phi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}}$$
となる。

特殊解の証明

証明は、特殊解を非同次の波動方程式に代入して\(-f(x)\)となれば良いが、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\)のとき、特殊解の被積分関数の分母が0になり発散してしまうので、まずは、\(y\)の積分領域\(V\)を\(x\)を含む領域\(V_i\)と\(x\)を含まない領域\(V_e\)に分けて
$$\square\phi=\square\frac{1}{4\pi}\int_{V_i}\frac{f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}+\square\frac{1}{4\pi}\int_{V_e}\frac{f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}$$
を考える。領域\(V_e\)では発散しないのでそのまま計算すると、
$$\square\frac{1}{4\pi}\int_{V_e}\frac{f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}=\frac{1}{4\pi}\int_{V_e}\left\{\Delta\frac{f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\cdot \frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\right\}d\boldsymbol{y}=0（\Deltaは\boldsymbol{x}にのみ作用する。※計算は下記参照）$$
となる。したがって、この特殊解を非同次の波動方程式に代入して値を持つのは、領域\(V_i\)の\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)の時のみだから、非同次の波動方程式は、デルタ関数を使って
$$\square\phi=-\int_V\delta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})d\boldsymbol{y}=-f(\boldsymbol{x},t)$$
のように書ける。ここでグリーン関数\(G\)を
$$\boxed{\Delta G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})=-\delta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})}$$
と定義すると、
$$\begin{eqnarray}
\square\int_{V}G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})d\boldsymbol{y}&=&\int_{V}\left(\Delta G\cdot f+G\Delta f-\frac{1}{c^2}\frac{\partial G}{\partial t^2}f-G\frac{1}{c^2}\frac{\partial f}{\partial t^2}\right)d\boldsymbol{y}（第3項は0。第2項と第4項は打ち消し合う。※第2項の計算は下記参照）\\
&=&\int_{V}\Delta G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\cdot f(\boldsymbol{y},t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c})d\boldsymbol{y}\\
&=&-f(\boldsymbol{x,t})
\end{eqnarray}$$
となるので、グリーン関数と特殊解を見比べて、
$$G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}$$
となっていれば、特殊解が非同次の波動方程式を満たすことを証明できる。\(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\)として、グリーン関数の定義式より、
$$\Delta G(\boldsymbol{r})=-\frac{1}{(2\pi)^3}\int e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{k}（デルタ関数のフリーエ変換より）$$
となるので、\(\boldsymbol{x}\)で微分して右辺になるように考えると、グリーン関数は、
$$G(\boldsymbol{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{1}{k^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{k}$$
となる。更に極座標で考えると
$$\begin{eqnarray}
G(\boldsymbol{r})&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_0^{\pi} d\theta\int_0^{2\pi} d\varphi \ \frac{1}{k^2}e^{ikr\cos\theta}k^2\sin\theta\\
&=&-\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_1^{-1} d\mu\int_0^{2\pi} d\varphi \ e^{ikr\mu}（\cos\theta=\muとすると、-\sin\theta=\frac{d\mu}{d\theta}より）\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_{-1}^1 d\mu \ [\varphi e^{ikr\mu}]_0^{2\pi}\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty dk \ \left[\frac{1}{ikr}e^{ikr\mu}\right]_{-1}^1\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty dk \ \frac{1}{ikr}2i\sin(kr)（e^{\pm ikr}=\cos(kr)\pm i\sin(kr)より）\\
&=&\frac{1}{2\pi^2 r}\int_0^\infty dt \ \frac{\sin t}{t}（t=krとすると\frac{dt}{dk}=rより）\\
&=&\frac{1}{4\pi r}（\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}より）
\end{eqnarray}$$
となリ、確かに先程の式のとおりなので、特殊解が非同次の波動方程式を満たすことがわかる。

---

※\(\Delta\frac{f}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\)の計算について
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x_1}|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\cdot 2(y_1-x_1)\cdot -1=-\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}&=&-\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}\cdot -\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}=\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}\\
\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}&=&-\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}-3\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^4}\cdot -\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^5}\{3(y_1-x_1)^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2\}\\
\frac{\partial}{\partial x_1}f(\boldsymbol{y},u)&=&\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{\partial}{\partial
x_1}\left(t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c}\right)=-\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{y_1-x_1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}f(\boldsymbol{y},u)&=&-\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{y_1-x_1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}-\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{y_1-x_1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}=\frac{\partial^2}{\partial u^2}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1)^2}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}-\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1)^2}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}+\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}
\end{eqnarray}$$
および、\((ab)^{\prime\prime}=((ab)^\prime)^\prime=(a^\prime b+ab^\prime)^\prime=a^{\prime\prime}b+2a^\prime b^\prime+ab^{\prime\prime}\)を使って、
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{f(\boldsymbol{y},u)}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}&=&\left\{\frac{\partial^2}{\partial u^2}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1)^2}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}-\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{(y_1-x_1)^2}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}+\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\right\}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}+2\left(-\frac{\partial}{\partial u}f(\boldsymbol{y},u)\cdot \frac{y_1-x_1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\right)\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}+f(\boldsymbol{y},u)\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^5}\{3(y_1-x_1)^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2\}\\
&=&\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\cdot \frac{(y_1-x_1)^2}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2-3(y_1-x_1)^2}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^4}+f\frac{3(y_1-x_1)^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^5}
\end{eqnarray}$$
となる。\(x_2\)、\(x_3\)も同様に計算して
$$\begin{eqnarray}
\Delta\frac{f}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}&=&\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\cdot \frac{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{3|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2-3(y_1-x_1)^2-3(y_2-x_2)^2-3(y_3-x_3)^2}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^4}+f\frac{3(y_1-x_1)^2+3(y_2-x_2)^2+3(y_3-x_3)^2-3|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^5}\\
&=&\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\cdot \frac{1}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
&=&\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\frac{\partial^2 t}{\partial u^2}\cdot \frac{1}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
&=&\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\cdot \frac{1}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}（\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}\left(t\pm\frac{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}{c}\right)=1より）
\end{eqnarray}$$
となる。

※\(\Delta f\)の計算について
上記の計算より、
$$\begin{eqnarray}
\Delta f&=&\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\cdot\frac{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}{c^2|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}-\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
&=&\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}\cdot\frac{1}{c^2}-\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{1}{c|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
&=&\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\cdot\frac{1}{c^2}（先程と同じ理由でuをtにする）
\end{eqnarray}$$
となる。