群論の物理で出てくる用語のみをできるだけ簡単にまとめます。
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群論とは
群論は、対称性を考える数学の代数学の分野で、幾何学と関係が深い。
対称性
対称性は、対象の構造を保ったまま変換することを言う。例として、幾何学的な対称性の変換として、左右反転、並行移動、回転などがある。
変換の計算
続けて行う変換は積の形で書く。例えば、回転の変換の場合、10度回転する変換を\(a\)、20度回転する変換を\(b\)、30度回転する変換を\(c\)とすれば、\(ab=c\)となる。\(a\)の変換を2回繰り返す場合は\(a^2\)となる。
群
群は、同じ種類の変換を集めた集合を言う。例えば、並行移動の変換の場合、x方向に5足す変換、10足す変換、15足す変換は、すべて同じ群の元（集合の要素）となる。
群の定義
群は、次の4つの性質で定義される。
$$\boxed{
\begin{eqnarray}
ab&=&c\in G（群Gの2つの元の積は、またGの元となる）\\
(ab)c&=&a(bc)（結合則が成り立つ）\\
ae&=&ea=a（恒等変換eが存在する）\\
aa^{-1}&=&a^{-1}a=e（逆変換が存在する）
\end{eqnarray}
}$$
具体的には、自然数や実数による加法（足し算）は4つの性質を満たすので群と言えるが、乗法（掛け算）は自然数では逆変換が分数になってしまい、実数でも0の逆変換を定義できないため群とは言えない。したがって乗法で群を定義する場合は、実数で0を除く。
可換群（アーベル群）と非可換群
可換\(ab=ba\)である群を可換群（もしくはアーベル群）と言い、非可換\(ab\neq ba\)である群を非可換群（もしくは非アーベル群）と言う。
有限群と無限群
元の個数が有限の群を有限群、元の個数が無限の群を無限群と言う。また、有限群の元の個数を位数と言う。
群の表現
群の変換を線形空間の線形変換で考えることを群の表現と言い、元は正則行列となる。
リー群
リー群とは、群の構造をもつ微分可能多様体と定義される。ザックリ言えば、微分可能な連続的変換を元に持つ群で、例えば、回転の変換の群で、何度で回転しても良い場合は、元が連続なのでリー群となる。
リー群の表現の具体例
ユニタリー群
元がユニタリー行列で、ユニタリー変換を成す群をユニタリー群（Unitary group）と言い、U(n)と書く。特に、行列式が1のユニタリー行列を元とする場合を特殊ユニタリー群（Special Unitary group）と言い、SU(n)と書く。nは行列の次数。
回転群
元が回転行列で、回転の変換を成す群を回転群と言う。回転行列は、行列式が1の直交行列であるため、特殊直交群（Special Orthogonal group）とも言い、SO(n)と書く。nは行列の次数。
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