群論の基本的な部分のみ、できるだけ簡潔にまとめます。
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群論とは
群論は、対称性を考える数学の代数学の分野で、幾何学と関係が深い。
対称性
対称性とは、対象の構造を保ったまま変換することを言う。例として、幾何学的な対称性の場合、左右反転、並行移動、回転などがある。
変換
続けて行う変換は積の形で書く。例えば、回転の変換の場合、10度回転する変換を\(a\)、20度回転する変換を\(b\)、30度回転する変換を\(c\)とすれば、\(ab=c\)となる。変換される対象や方法は関係なく、変換自体を積の式で表す。
群
群（group）は、同じ種類の変換を集めた集合を言う。例えば、並行移動の変換の場合、x方向に5足す変換、10足す変換、15足す変換は、すべて同じ群（集合）の元（集合の要素）となる。群は、次の4つの性質で定義される。
$$\boxed{
\begin{eqnarray}
ab&=&c\in G（群Gの2つの元の積は、またGの元となる）\\
(ab)c&=&a(bc)（結合則が成り立つ）\\
ae&=&ea=a（恒等変換eが存在する）\\
aa^{-1}&=&a^{-1}a=e（逆変換が存在する）
\end{eqnarray}
}$$
具体的には、”実数による足し算”は4つの性質を満たすので群と言えるが、”実数による掛け算”は0の逆変換を定義できないため群とは言えない。
可換群（アーベル群）と非可換群
可換\(ab=ba\)である群を可換群（もしくはアーベル群）と言い、非可換\(ab\neq ba\)である群を非可換群と言う。
有限群と無限群
元の個数が有限の群を有限群、元の個数が無限の群を無限群と言う。また、有限群の元の個数を位数（order）と言う。
群の表現
群の変換を線形空間の線形変換で考えることを群の表現と言い、元は正則行列となる。
具体的な例
- ポアンカレ群（ローレンツ変換+平行移動）
- ローレンツ群（ローレンツ変換）
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