複素数の絶対値

複素数の絶対値の定義

複素数\(a+ib=re^{i\theta}\)の絶対値は、実数の絶対値が原点からの距離で定義されたのと同様に、複素平面上の原点からの距離となり、

\begin{eqnarray}
|z|&=&\sqrt{zz^*}\\
&=&\sqrt{(a+ib)(a-ib)}=\sqrt{a^2+b^2}\\
&=&\sqrt{re^{i\theta}re^{-i\theta}}=r
\end{eqnarray}

となる。したがって、複素数の絶対値は正の実数となる。

絶対値の性質

$$\begin{eqnarray}
|z|&\geqq&0\\
|z|^2&=&z^2\\
|z_1 z_2|&=&|z_1||z_2|\\
|z_1|-|z_2|&\leqq&|z_1\pm z_2|\leqq|z_1|+|z_2|（証明は下記参照）
\end{eqnarray}$$

絶対値を含む不等式の証明

\(|z_1|-|z_2|\leqq|z_1\pm z_2|\leqq|z_1|+|z_2|\)を考える。左の項が負の場合、他の項が正なので左の不等式は必ず成り立つ。左の項が正の場合、すべての項が正なので各項を2乗しても不等号の向きは変わらない。2乗してから大小関係を比較すると、

\begin{eqnarray}
|z_1\pm z_2|^2&=&(r_1e^{i\theta_1}\pm r_2e^{i\theta_2})(r_1e^{-i\theta_1}\pm r_2e^{-i\theta_2})\\
&=&r_1^2+r_2^2\pm r_1r_2\{e^{i(\theta_1-\theta_2)}+e^{-i(\theta_1-\theta_2)}\}\\
&=&r_1^2+r_2^2\pm 2r_1r_2\cos\theta （\theta=\theta_1-\theta_2）\\
(|z_1|+|z_2|)^2&=&r_1^2+2r_1r_2+r_2^2\\
(|z_1|-|z_2|)^2&=&r_1^2-2r_1r_2+r_2^2
\end{eqnarray}

となるので、

\begin{eqnarray}
(|z_1|+|z_2|)^2-|z_1\pm z_2|^2&=&2r_1r_2\mp 2r_1r_2\cos\theta\geqq 0\\
|z_1\pm z_2|^2-(|z_1|-|z_2|)^2&=&\pm 2r_1r_2\cos\theta+2r_1r_2\geqq0
\end{eqnarray}

となり、2乗をはずして元に戻すと、\(|z_1|-|z_2|\leqq|z_1\pm z_2|\leqq|z_1|+|z_2|\)となる。