出来るだけ簡単に、波動方程式と波の関数を導出し、エネルギー密度を考えます。
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波動方程式
波とは、任意の関数が時間と共に移動していく様子で表される。したがって、移動する波の速度（波速）を\(v\)として、一般的な波の関数は、
$$y=f(x\pm vt)$$
となる。この波の関数は、
$$\fbox{\(\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}\)}$$
を満たすが、この関係式を波動方程式と言う。
ここで、波の媒体（例えば弦など）を考える。波は移動して見えるが、振動している媒体自体は上下運動しかしていない。媒体の密度を\(\rho\)として、波動方程式を
$$\rho\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}（但し、T=\rho v^2）$$
と変形すると、左辺は、
$$ma=\rho\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}$$
であるから、右辺は、
$$F(y)=T\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}$$
となり、波動方程式が、媒体各点の上下運動の運動方程式を表していることがわかる。（ちなみに定数\(T\)は、波動方程式の力学的イメージで、波の媒体が振動していない時の張力として理解される）
波動方程式の解（波の関数）
\(\sin\)関数の波を正弦波、\(\cos\)関数の波を余弦波と言う。波は、重ね合わせの原理が成り立つので、複雑な波の関数も正弦波と余弦波の重ね合わせで表すことができる。（フーリエ展開）したがって、波動方程式を満たす最も基本的な波の関数として、正弦波と余弦波を考えれば十分である。正弦波を、変数\(x-vt\)で
$$y=A\sin k(x-vt)$$
とすると、\(k(x-vt)\)の部分を位相と言い、位相は、波の形を決定する定数を使って、
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
y&=&A\sin(kx-\omega t)\\
&=&A\sin 2\pi\left(\frac{1}{\lambda}x-\frac{1}{T} t\right)\\
&=&A\sin 2\pi\left(\frac{1}{\lambda}x-\nu t\right)
\end{eqnarray}\)}$$
と表すことができる。それぞれの定数は、
- \(A[m]\):振幅（波の最大の高さ）
- \(k[1/m]\):波数（\(2\pi\)あたりの振動数）
- \(\omega[1/s]\):角速度（振動する速さ。\(=vk\)）
- \(\lambda[m]\):波長（1振動あたりの長さ）
- \(T[s]\):周期（1振動あたりの時間。波動方程式の\(T\)とは違うので注意）
- \(\nu[1/s]\):振動数（時間あたりの振動数。周波数\(f[Hz]\)とも言う）
- \(v[m/s]\):波速（\(=\lambda\nu\)）
である。位相の初期値（\(x\)や\(t\)が0のときの値。つまり原点）を変えても、波の形は変わらないので、
$$y=A\sin(kx-\omega t+\theta_0)$$
とできる。位相の初期値\(\theta_0\)を初期位相と言う。初期位相が\(\pi/2\)のとき、
$$y=A\sin(kx-\omega t+\frac{\pi}{2})=A\cos(kx-\omega t)（三角関数の公式より）$$
となるので、正弦波と余弦波は初期値の取り方によって、どちらで表しても同じになる。
エネルギー密度
ここでも正弦波
$$y=A\sin(kx-\omega t)$$
を例に考える。媒体各点の運動エネルギー\(K(x)\)は、振幅\(\pm A\)で\(0\)になるだろうから、振幅から任意の座標\(y\)まで積分して
$$\begin{eqnarray}
K(x)&=&\int_{\pm A}^y \left(\rho\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\right)dy\\
&=&\rho\int_{\pm A}^y \frac{\partial v}{\partial t}dy\\
&=&\rho\int_0^v vdv（変数変換で、y=\pm Aのとき\sinは\pm 1。\sinが\pm 1のとき、その微分値の\cosは0となる）\\
&=&\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2
\end{eqnarray}$$
となる。媒体各点の位置エネルギー\(V(x)\)は、
$$\begin{eqnarray}
V(x)&=&-\int_y^{\pm A} F(x)dy\\
&=&\int_{\pm A}^y \left(T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}\right) dy\\
&=&T\int_{\pm A}^y \frac{\partial\dot{y}}{\partial x}dy\\
&=&T\int_0^\dot{y} \dot{y}d\dot{y}\\
&=&\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2
\end{eqnarray}$$
となる。あわせて、媒体各点のエネルギー\(u(x)\)は、
$$\fbox{\(u(x)=\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2+\frac{1}{2}T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\)}$$
となる。\(u(x)\)をエネルギー密度と言い、波全体のエネルギー\(E\)との関係は、
$$E=\int u(x)dx$$
となる。
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