波動方程式の力学的イメージ（振動する弦の運動）

振動する弦の運動から、波動方程式の力学的イメージを考えます。

これから考える弦は、静止した状態で\(x\)軸上にあり、等間隔\(\mathit{\Delta}x\)に質量\(m\)の質点が並んでいる。それぞれの質点の間はバネでつながれ、弦が振動していない状態のバネの張力を\(T\)とする。バネの自然長は\(0\)とし、バネの張力は質点間の距離に比例する。

この質点とバネからなる弦が、\(y\)軸方向に波のように振動する。\(n\)番目の質点が上下した変位を\(y_n\)とすると、その隣の質点との変位の差は、

$$\mathit{\Delta}y_n=y_{n+1}-y_n$$

となる。また、質点間のバネは最初の長さ\(\mathit{\Delta}x\)よりも少し伸びるから、質点には最初の張力\(T\)よりも大きな張力が働き、その張力を\(T_n\)とすると、

$$T_n=T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_n}}{\mathit{\Delta}x}$$

となる。波の復元力\(F_n\)は、\(T_n\)の上下成分で、左右それぞれ逆向きに働くから、

$$\begin{eqnarray}
F_n&=&T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_n}}{\mathit{\Delta}x}\frac{\mathit{\Delta}y_n}{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_n}}-T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_{n-1}}}{\mathit{\Delta}x}\frac{\mathit{\Delta}y_{n-1}}{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_{n-1}}}\\
&=&T\frac{\mathit{\Delta}y_n}{\mathit{\Delta}x}-T\frac{\mathit{\Delta}y_{n-1}}{\mathit{\Delta}x}
\end{eqnarray}$$

となリ、質点の運動方程式は、

$$m\frac{d^2 y_n(t)}{d t^2}=T\frac{\mathit{\Delta}y_n}{\mathit{\Delta}x}-T\frac{\mathit{\Delta}y_{n-1}}{\mathit{\Delta}x}$$

となる。更に、両辺を\(\mathit{\Delta}x\)で割リ、\(\mathit{\Delta}x\)を\(0\)に近づけると、

$$\begin{eqnarray}
\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{m}{\mathit{\Delta}x}\frac{\partial^2 y(x_n,t)}{\partial t^2}&=&\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{1}{\mathit{\Delta}x}\left(T\frac{y(x_n+\mathit{\Delta}x,t)-y(x_n,t)}{\mathit{\Delta}x}-T\frac{y(x_{n-1}+\mathit{\Delta}x,t)-y(x_{n-1},t)}{\mathit{\Delta}x} \right)\\
\rho\frac{\partial^2 y(x_n,t)}{\partial t^2}&=&T\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{1}{\mathit{\Delta}x}\left(\frac{\partial y(x_n,t)}{\partial x}-\frac{\partial y(x_{n-1},t)}{\partial x}\right)\\
&=&T\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\left(\frac{\dot{y}(x_n,t)-\dot{y}(x_n-\mathit{\Delta}x,t)}{\mathit{\Delta}x}\right)\\
&=&T\frac{\partial^2 y(x_n,t)}{\partial x^2}（微分は左右どちらからxに近づけても同じ）
\end{eqnarray}$$

となる。したがって、弦の運動方程式は、

$$\boxed{\rho\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}}$$

となり、波動方程式が再現される。