波動方程式の力学的イメージ（振動する弦の運動）

振動する弦の運動から、波動方程式の力学的イメージを考えます。

これから考える弦は、静止した状態で$x$軸上にあり、等間隔$\mathit{\Delta }x$に質量$m$の質点が並んでいる。それぞれの質点の間はバネでつながれ、弦が振動していない状態のバネの張力を$T$とする。バネの自然長は$0$とし、バネの張力は質点間の距離に比例する。

この質点とバネからなる弦が、$y$軸方向に波のように振動する。$n$番目の質点が上下した変位を$y_n$とすると、その隣の質点との変位の差は、

$$\mathit{\Delta }{y}_n=y_{n+1}-y_n$$

となる。また、質点間のバネは最初の長さ$\mathit{\Delta }x$よりも少し伸びるから、質点には最初の張力$T$よりも大きな張力が働き、その張力を$T_n$とすると、

$$T_n=T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta }{x}^2+\mathit{\Delta }{y}_n^2}}{\mathit{\Delta }x}$$

となる。波の復元力$F_n$は、$T_n$の上下成分で、左右それぞれ逆向きに働くから、

$$\begin{array}{rcl}{F}_n& =& T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta }{x}^2+\mathit{\Delta }{y}_n^2}}{\mathit{\Delta }x}\frac{\mathit{\Delta }{y}_n}{\sqrt{\mathit{\Delta }{x}^2+\mathit{\Delta }{y}_n^2}}-T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta }{x}^2+\mathit{\Delta }{y}_{n-1}^2}}{\mathit{\Delta }x}\frac{\mathit{\Delta }{y}_{n-1}}{\sqrt{\mathit{\Delta }{x}^2+\mathit{\Delta }{y}_{n-1}^2}}\\ & =& T\frac{\mathit{\Delta }{y}_n}{\mathit{\Delta }x}-T\frac{\mathit{\Delta }{y}_{n-1}}{\mathit{\Delta }x}\end{array}$$

となリ、質点の運動方程式は、

$$m\frac{d^2{y}_n(t)}{d{t}^2}=T\frac{\mathit{\Delta }{y}_n}{\mathit{\Delta }x}-T\frac{\mathit{\Delta }{y}_{n-1}}{\mathit{\Delta }x}$$

となる。更に、両辺を$\mathit{\Delta }x$で割リ、$\mathit{\Delta }x$を$0$に近づけると、

$$\begin{array}{rcl}\underset{\mathit{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{m}{\mathit{\Delta }x}\frac{{\partial }^{2}y(x_n,t)}{\partial t^2}& =& \underset{\mathit{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathit{\Delta }x}(T\frac{y(x_n+\mathit{\Delta }x,t)-y(x_n,t)}{\mathit{\Delta }x}-T\frac{y(x_{n-1}+\mathit{\Delta }x,t)-y(x_{n-1},t)}{\mathit{\Delta }x})\\ \rho \frac{{\partial }^{2}y(x_n,t)}{\partial t^2}& =& T\underset{\mathit{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathit{\Delta }x}(\frac{\partial y(x_n,t)}{\partial x}-\frac{\partial y(x_{n-1},t)}{\partial x})\\ & =& T\underset{\mathit{\Delta }x\to 0}{lim}\left(\frac{\dot{y}(x_n,t)-\dot{y}(x_n-\mathit{\Delta }x,t)}{\mathit{\Delta }x}\right)\\ & =& T\frac{{\partial }^{2}y(x_n,t)}{\partial x^2}（\mathrm{微}\mathrm{分}\mathrm{は}\mathrm{左}\mathrm{右}\mathrm{ど}\mathrm{ち}\mathrm{ら}\mathrm{か}\mathrm{ら}x\mathrm{に}\mathrm{近}\mathrm{づ}\mathrm{け}\mathrm{て}\mathrm{も}\mathrm{同}\mathrm{じ}）\end{array}$$

となる。したがって、弦の運動方程式は、

$$\boxed{{\displaystyle \rho \frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y(x,t)}{\partial x^2}}}$$

となり、波動方程式が再現される。