波動方程式の力学的イメージ(振動する弦の運動)

振動する弦の運動から、波動方程式の力学的イメージを考えます。

これから考える弦は、静止した状態で\(x\)軸上にあり、等間隔\(\mathit{\Delta}x\)に質量\(m\)の質点が並んでいる。それぞれの質点の間はバネでつながれ、弦が振動していない状態のバネの張力を\(T\)とする。バネの自然長は\(0\)とし、バネの張力は質点間の距離に比例する。

この質点とバネからなる弦が、\(y\)軸方向に波のように振動する。\(n\)番目の質点が上下した変位を\(y_n\)とすると、その隣の質点との変位の差は、
$$\mathit{\Delta}y_n=y_{n+1}-y_n$$
となる。また、質点間のバネは最初の長さ\(\mathit{\Delta}x\)よりも少し伸びるから、質点には最初の張力\(T\)よりも大きな張力が働き、その張力を\(T_n\)とすると、
$$T_n=T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_n}}{\mathit{\Delta}x}$$
となる。波の復元力\(F_n\)は、\(T_n\)の上下成分で、左右それぞれ逆向きに働くから、
$$\begin{eqnarray}
F_n&=&T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_n}}{\mathit{\Delta}x}\frac{\mathit{\Delta}y_n}{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_n}}-T\frac{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_{n-1}}}{\mathit{\Delta}x}\frac{\mathit{\Delta}y_{n-1}}{\sqrt{\mathit{\Delta}x^2+\mathit{\Delta}y^2_{n-1}}}\\
&=&T\frac{\mathit{\Delta}y_n}{\mathit{\Delta}x}-T\frac{\mathit{\Delta}y_{n-1}}{\mathit{\Delta}x}
\end{eqnarray}$$
となリ、質点の運動方程式は、
$$m\frac{\partial^2 y_n(t)}{\partial t^2}=T\frac{\mathit{\Delta}y_n}{\mathit{\Delta}x}-T\frac{\mathit{\Delta}y_{n-1}}{\mathit{\Delta}x}$$
となる。更に、両辺を\(\mathit{\Delta}x\)で割リ、\(\mathit{\Delta}x\)を\(0\)に近づけると、
$$\begin{eqnarray}
\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{m}{\mathit{\Delta}x}\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}&=&\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{1}{\mathit{\Delta}x}\left(T\frac{y(x+\mathit{\Delta}x,t)-y(x,t)}{\mathit{\Delta}x}-T\frac{y(x,t)-y(x-\mathit{\Delta}x,t)}{\mathit{\Delta}x} \right)\\
\rho\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}&=&T\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\frac{1}{\mathit{\Delta}x}\left(\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}-\frac{\partial y(x-\mathit{\Delta}x,t)}{\partial x}\right)\\
&=&T\lim_{\mathit{\Delta}x\rightarrow 0}\left(\frac{\dot{y}(x,t)-\dot{y}(x-\mathit{\Delta}x,t)}{\mathit{\Delta}x}\right)\\
&=&T\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}(微分は左右どちらからxに近づけても同じ)
\end{eqnarray}$$
となる。したがって、弦の運動方程式は、
$$\fbox{\(\rho\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}\)}$$
となり、波動方程式が再現される。

“波動方程式の力学的イメージ(振動する弦の運動)” への2件の返信

  1. FnはΔx全体の力であることに注意しての次の式
    間違ってないでしょうか Δx分の1が いらないのでは?

    1. コメントありがとうございます。結果は同じですが、説明の方法を少し変えてみました。いかがでしょうか?

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