調和振動（単振動）

バネの運動とフックの法則

バネの復元力$F$は、バネを引いた距離$x$に比例する。（フックの法則） バネの自然長を原点に取れば復元力は原点に向かって働く。（$x$がプラスの時はマイナス方向に力が働き、$x$がマイナスの時はプラス方向に力が働く）したがって、復元力は、比例定数を$k$とすると、

$$F=-kx$$

となる。

調和振動

バネの運動ように距離に比例する力が働く時、物体は原点を中心に往復運動をするが、このような運動を調和振動または単振動と言い、調和振動する物体を調和振動子と言う。

調和振動子の運動方程式

調和振動子の運動方程式は、

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

となる。$x$の解は、$t$で2回微分すると符号が逆になって元に戻るのだから$\cos$で表すことができ、任意の定数$a$と${\theta }_0$を使って、

$$x=a\cos (\sqrt{\frac{k}{m}}t+{\theta }_0)$$

となる。ここで、

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

とおくと、

$$x=a\cos (\omega t+{\theta }_0)$$

となる。この式からわかるように調和振動の往復運動は、半径$a$、角速度$\omega$の等速円運動の$x$軸射影（$\cos$のこと）でイメージされる。定数$a$は振幅と言い、原点から最も遠い位置を表す。定数${\theta }_0$は初期位相と言い、$a\cos {\theta }_0$で$t=0$の時の原点からの位置を表す。（ちなみに$\sin$も解になるが、$\cos$と位相が90度ずれているだけなので、初期位相を含めた$\cos$だけで表すことができる）$\omega$を定義した式より、

$$k=m{\omega }^2$$

となるので、最初の復元力の式は、

$$F=-m{\omega }^{2}x$$

と表すことができる。

調和振動子のエネルギー

調和振動の位置エネルギー$V$は、

$$\begin{array}{rcl}V& =& -{\int }_0^{x}Fdx\\ & =& -{\int }_0^x(-m{\omega }^{2}x)dx\\ & =& \frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\end{array}$$

となり、運動エネルギーを含めた全エネルギー$E$は、

$$\boxed{{\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2}}$$

となる。もしくは、$\omega$の定義より、

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$$

となる。