調和振動（単振動）

バネの運動とフックの法則

バネの復元力\(F\)は、バネを引いた距離\(x\)に比例する。（フックの法則） バネの自然長を原点に取れば復元力は原点に向かって働く。（\(x\)がプラスの時はマイナス方向に力が働き、\(x\)がマイナスの時はプラス方向に力が働く）したがって、復元力は、比例定数を\(k\)とすると、

$$F=-kx$$

となる。

調和振動

バネの運動ように距離に比例する力が働く時、物体は原点を中心に往復運動をするが、このような運動を調和振動または単振動と言い、調和振動する物体を調和振動子と言う。

調和振動子の運動方程式

調和振動子の運動方程式は、

$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$$

となる。\(x\)の解は、\(t\)で2回微分すると符号が逆になって元に戻るのだから\(\cos\)で表すことができ、任意の定数\(a\)と\(\theta_0\)を使って、

$$x=a\cos\left(\sqrt\frac{k}{m}t+\theta_0\right)$$

となる。ここで、

$$\omega=\sqrt\frac{k}{m}$$

とおくと、

$$x=a\cos\left(\omega t+\theta_0\right)$$

となる。この式からわかるように調和振動の往復運動は、半径\(a\)、角速度\(\omega\)の等速円運動の\(x\)軸射影（\(\cos\)のこと）でイメージされる。定数\(a\)は振幅と言い、原点から最も遠い位置を表す。定数\(\theta_0\)は初期位相と言い、\(a\cos\theta_0\)で\(t=0\)の時の原点からの位置を表す。（ちなみに\(\sin\)も解になるが、\(\cos\)と位相が90度ずれているだけなので、初期位相を含めた\(\cos\)だけで表すことができる）\(\omega\)を定義した式より、

$$k=m\omega^2$$

となるので、最初の復元力の式は、

$$F=-m\omega^2x$$

と表すことができる。

調和振動子のエネルギー

調和振動の位置エネルギー\(V\)は、

$$\begin{eqnarray}
V&=&-\int_0^x Fdx\\
&=&-\int_0^x(-m\omega^2 x)dx\\
&=&\frac{1}{2}m\omega^2x^2
\end{eqnarray}$$

となり、運動エネルギーを含めた全エネルギー\(E\)は、

$$\boxed{E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2}$$

となる。もしくは、\(\omega\)の定義より、

$$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$$

となる。