ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式の導出

最小作用の原理でラグランジアン$L(q_i,\dot{q_i})$を汎関数微分すると
$$\begin{array}{rcl}\delta S& =& \sum _i^n\delta \int dtL(q_i,\dot{q_i})\\ & =& \sum _i^n\int dt(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\delta {\dot{q}}_i)\\ & =& \sum _i^n\int dt(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{d}{dt}\delta q_i)\end{array}$$
となる。第２項を部分積分すると、
$$\int dt\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\frac{d}{dt}\delta q_i={\left[\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\delta q_i\right]}_{t_A}^{t_B}-\int dt\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)\delta q_i$$
となり、$\delta q_i(t_A)=\delta q_i(t_B)=0$であるから、第１項は$0$となる。したがって元の式は、
$$\delta S=\sum _i^n\int dt(\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i})\delta q_i$$
となる。さて、最小作用の原理から、仮想変位$\delta q_i$はあらゆる値をとる可能性があるが、上記の式は常に$0$でなくてはならない。それは、どの自由度$i$でも成り立ち、また、積分する時間が極端に短い一瞬でも成り立たなくてはならない。したがって、
$$\boxed{\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=0}$$
となり、上記の式をラグランジュ方程式という。

運動方程式とラグランジュ方程式の関係

ラグランジアンを
$$L=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)$$
とする。ラグランジュ方程式に代入すると、
$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}& =& -\frac{d}{dq}V(q)-\frac{d}{dt}m\dot{q}\\ & =& F(q)-m\ddot{q}=0\end{array}$$
となり、運動方程式が再現される。また、途中式から
$$\boxed{\begin{array}{rcl}\frac{\partial L}{\partial q}& =& F\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}& =& m\dot{q}=p\end{array}}$$
の関係がある。

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