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はじめに
量子力学でシュレディンガー方程式が発見された後、すぐに相対論を考慮した波動関数としてクライン-ゴルドン方程式が発表されるが、負のエネルギーや負の確率が解として出てしまい、歴史的には一度否定される。その後、場の量子論で新しい解釈を得て復活するが、ここでは歴史的な順序通り、相対論を考慮した”量子力学”として導入する。
クライン-ゴルドン方程式
シュレディンガー方程式は、古典的なエネルギーと運動量の関係式
$$E=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}$$
に、演算子の書き換え
$$\begin{eqnarray}
E&→&i\frac{\partial}{\partial t}\\
\boldsymbol{p}&→&-i\boldsymbol{\nabla}\\
\end{eqnarray}$$
を行ったものと言える。同じように考えて、相対論のエネルギーと運動量の関係式
$$E^2=\boldsymbol{p}^2+m^2$$
に演算子の書き換えを行うと
$$-\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\boldsymbol{\nabla}^2\phi+m^2\phi$$
となり、まとめると
$$\fbox{\((□+m^2)\phi(\boldsymbol{x},t)=0\)}$$
となる。この相対論を考慮した波動方程式をクライン-ゴルドン方程式と言う。
クライン-ゴルドン方程式の解
$$\boxed{\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}(a_\boldsymbol{k} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-i\omega_\boldsymbol{k} t})}$$
\(\phi\)がスカラーであることからスカラー場と呼ばれ、\(\boldsymbol{x}\)と\(t\)以外の粒子の性質を表す自由度が\(\boldsymbol{k}\)と\(\omega\)のみで、スピンの自由度を含まないことから、スピン0の粒子を表すと考えられた。実際にある\(\boldsymbol{k}\)の平面波解（運動量の固有関数）をクライン-ゴルドン方程式に代入してみれば、\(\boldsymbol{k}\)が\(\boldsymbol{p}\)、\(\omega\)が\(E\)となるので、
$$E^2=\boldsymbol{p}^2+m^2$$
となり、相対論のエネルギーと運動量の関係式が成り立っていることがわかる。
確率のカレント
クライン-ゴルドン方程式に\(\phi^*\)を左から掛け、クライン-ゴルドン方程式の複素共役に\(\phi\)を右から掛けて
$$\begin{eqnarray}
\phi^*(□+m^2)\phi&=&0\\
\{(□+m^2)\phi^*\}\phi&=&0
\end{eqnarray}$$
の2式を用意する。両辺を引くと\(m^2\)の項が消え、
$$\phi^*□\phi-(□\phi^*)\phi=0$$
となり、\(i\)を掛けて、
$$\begin{eqnarray}
i\left\{\phi^*□\phi-(□\phi^*)\phi\right\}&=&i\left[\phi^*\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2\right)\phi-\left\{\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2\right)\phi^*\right\}\phi\right]\\
&=&i\left(\phi^*\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\phi\right)-i\left\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}^2\phi-(\boldsymbol{\nabla}^2\phi^*)\phi\right\}\\
&=&\frac{\partial}{\partial t}\left[i\left(\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{\partial\phi^*}{\partial t}\phi\right)\right]-\boldsymbol{\nabla}\cdot i\left[\left\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}\phi-(\boldsymbol{\nabla}\phi^*)\phi\right\}\right]\\
&=&0
\end{eqnarray}$$
となる。ここで、確率密度\(\rho\)と確率密度のカレント\(\boldsymbol{j}\)を
$$\begin{eqnarray}
\rho&=&i\left\{\phi^*\frac{\partial}{\partial t}\phi-\left(\frac{\partial}{\partial t}\phi^*\right)\phi\right\}\\
\boldsymbol{j}&=&-i\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}\phi-(\boldsymbol{\nabla}\phi^*)\phi\}
\end{eqnarray}$$
と定義すると、確率のカレント\(j^\mu(\rho,\boldsymbol{j})\)の保存則を
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{j}=\partial^\mu j_\mu=0$$
と表すことができる。シュレディンガー方程式の場合と比較すると、\(\boldsymbol{j}\)は同じだが、\(\rho\)は大きく異なっている。（シュレディンガー方程式は\(\rho=\psi^*\psi\)。相対論を取り入れたことで\(\rho\)と\(\boldsymbol{j}\)が対象の形になった）また、確率のカレント\(j^\mu(\rho,\boldsymbol{j})\)は、
\begin{eqnarray}
j^\mu&=&(\begin{array}{cc}\rho&\boldsymbol{j}\end{array})\\
&=&\rho+\boldsymbol{j}\\
&=&i\left\{\phi^*\frac{\partial}{\partial t}\phi-\left(\frac{\partial}{\partial t}\phi^*\right)\phi\right\}-i\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}\phi-(\boldsymbol{\nabla}\phi^*)\phi\}\\
\end{eqnarray}
であるから、
$$\boxed{j^\mu=i\{\phi^*\partial^\mu\phi-(\partial^\mu\phi^*)\phi\}}$$
となる。
内積
確率密度\(\rho\)の計算より、クライン-ゴルドン方程式を満たすヒルベルト空間での内積は
$$\boxed{\langle\phi_1|\phi_2\rangle=i\int d^3\boldsymbol{x}\left(\phi_1^*\frac{\partial\phi_2}{\partial t}-\frac{\partial\phi_1^*}{\partial t}\phi_2\right)}$$
で定義される。
問題点
下記の通り、クライン-ゴルドン方程式は、計算すると負のエネルギーと負の確率が表れてしまう。この問題により一時、クライン-ゴルドン方程式は否定されてしまうが、後ほど場の量子論に発展することで解決される。
負のエネルギー
エネルギーと運動量の固有値は同時に確定（観測）でき、相対論のエネルギーと運動量の関係式を満たすので、
$$E=\pm\sqrt{\boldsymbol{p}^2+m^2}$$
と負のエネルギー解が出てしまう。（もし、負のエネルギーがあるなら、エネルギー保存則を破らずに正のエネルギーを無限に取り出せてしまう）
負の確率
簡単にある\(\boldsymbol{k}\)の平面波解\(\phi=a_{\boldsymbol{k}}e^{-ik\cdot x}=a_{\boldsymbol{k}}e^{i(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}-Et)}\)を使い、上記で求めた内積を使って、確率密度を計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\rho&=&i\left(\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{\partial\phi^*}{\partial t}\phi\right)\\
&=&i\{a_{\boldsymbol{k}}e^{ik\cdot x}(-a_{\boldsymbol{k}}iEe^{-ik\cdot x})-a_{\boldsymbol{k}}iEe^{ik\cdot x}a_{\boldsymbol{k}}e^{-ik\cdot x}\}\\
&=&2a_{\boldsymbol{k}}^2E
\end{eqnarray}$$
となり、負のエネルギー解があるため、負の確率密度が出てしまう。
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