クライン-ゴルドン方程式

はじめに

量子力学でシュレディンガー方程式が発見された後、すぐに相対論を考慮した波動関数としてクライン-ゴルドン方程式が発表されるが、負のエネルギーや負の確率が解として出てしまい、歴史的には一度否定される。その後、場の量子論で新しい解釈を得て復活するが、ここでは歴史的な順序通り、相対論を考慮した”量子力学”として導入する。

クライン-ゴルドン方程式

シュレディンガー方程式は、古典的なエネルギーと運動量の関係式

$$E=\frac{{\mathit{p}}^2}{2m}$$

に、演算子の書き換え

$$\begin{array}{rcl}E& \to & i\frac{\partial }{\partial t}\\ \mathit{p}& \to & -i\mathbf{\nabla }\end{array}$$

を行ったものと言える。同じように考えて、相対論のエネルギーと運動量の関係式

$$E^2={\mathit{p}}^2+m^2$$

に演算子の書き換えを行うと

$$-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}=-{\mathbf{\nabla }}^2\varphi +m^2\varphi$$

となり、まとめると

$$\boxed{(\square +m^2)\varphi (\mathit{x},t)=0}$$

となる。この相対論を考慮した波動方程式をクライン-ゴルドン方程式と言う。

クライン-ゴルドン方程式の解

$$\boxed{{\displaystyle \varphi (\mathit{x},t)=\int \frac{d^3\mathit{k}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}(a_{\mathit{k}}{e}^{i\mathit{k}\cdot \mathit{x}-i{\omega }_{\mathit{k}}t})}}$$

$\varphi$がスカラーであることからスカラー場と呼ばれ、$\mathit{x}$と$t$以外の粒子の性質を表す自由度が$\mathit{k}$と$\omega$のみで、スピンの自由度を含まないことから、スピン0の粒子を表すと考えられた。実際にある$\mathit{k}$の平面波解（運動量の固有関数）をクライン-ゴルドン方程式に代入してみれば、$\mathit{k}$が$\mathit{p}$、$\omega$が$E$となるので、

$$E^2={\mathit{p}}^2+m^2$$

となり、相対論のエネルギーと運動量の関係式が成り立っていることがわかる。

確率のカレント

クライン-ゴルドン方程式に${\varphi }^{\ast }$を左から掛け、クライン-ゴルドン方程式の複素共役に$\varphi$を右から掛けて

$$\begin{array}{rcl}{\varphi }^{\ast }(\square +m^2)\varphi & =& 0\\ \{(\square +m^2){\varphi }^{\ast }\}\varphi & =& 0\end{array}$$

の2式を用意する。両辺を引くと$m^2$の項が消え、

$${\varphi }^{\ast }\square \varphi -(\square {\varphi }^{\ast })\varphi =0$$

となり、$i$を掛けて、

$$\begin{array}{rcl}i\{{\varphi }^{\ast }\square \varphi -(\square {\varphi }^{\ast })\varphi \}& =& i[{\varphi }^{\ast }(\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathbf{\nabla }}^2)\varphi -\left\{(\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathbf{\nabla }}^2){\varphi }^{\ast }\right\}\varphi ]\\ & =& i({\varphi }^{\ast }\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{\varphi }^{\ast }}{\partial t^2}\varphi )-i\{{\varphi }^{\ast }{\mathbf{\nabla }}^2\varphi -({\mathbf{\nabla }}^2{\varphi }^{\ast })\varphi \}\\ & =& \frac{\partial }{\partial t}\left[i({\varphi }^{\ast }\frac{\partial \varphi }{\partial t}-\frac{\partial {\varphi }^{\ast }}{\partial t}\varphi )\right]-\mathbf{\nabla }\cdot i\left[\{{\varphi }^{\ast }\mathbf{\nabla }\varphi -(\mathbf{\nabla }{\varphi }^{\ast })\varphi \}\right]\\ & =& 0\end{array}$$

となる。ここで、確率密度$\rho$と確率密度のカレント$\mathit{j}$を

$$\begin{array}{rcl}\rho & =& i\{{\varphi }^{\ast }\frac{\partial }{\partial t}\varphi -\left(\frac{\partial }{\partial t}{\varphi }^{\ast }\right)\varphi \}\\ \mathit{j}& =& -i\{{\varphi }^{\ast }\mathbf{\nabla }\varphi -(\mathbf{\nabla }{\varphi }^{\ast })\varphi \}\end{array}$$

と定義すると、確率のカレント$j^{\mu }(\rho ,\mathit{j})$の保存則を

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathbf{\nabla }\cdot \mathit{j}={\partial }^{\mu }{j}_{\mu }=0$$

と表すことができる。シュレディンガー方程式の場合と比較すると、$\mathit{j}$は同じだが、$\rho$は大きく異なっている。（シュレディンガー方程式は$\rho ={\psi }^{\ast }\psi$。相対論を取り入れたことで$\rho$と$\mathit{j}$が対象の形になった）また、確率のカレント$j^{\mu }(\rho ,\mathit{j})$は、

$$\begin{array}{rcl}{j}^{\mu }& =& (\begin{array}{cc}\rho & \mathit{j}\end{array})\\ & =& \rho +\mathit{j}\\ & =& i\{{\varphi }^{\ast }\frac{\partial }{\partial t}\varphi -\left(\frac{\partial }{\partial t}{\varphi }^{\ast }\right)\varphi \}-i\{{\varphi }^{\ast }\mathbf{\nabla }\varphi -(\mathbf{\nabla }{\varphi }^{\ast })\varphi \}\end{array}$$

であるから、

$$\boxed{{\displaystyle j^{\mu }=i\{{\varphi }^{\ast }{\partial }^{\mu }\varphi -({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\ast })\varphi \}}}$$

となる。

内積

確率密度$\rho$の計算より、クライン-ゴルドン方程式を満たすヒルベルト空間での内積は

$$\boxed{{\displaystyle ⟨{\varphi }_1|{\varphi }_2⟩=i\int d^3\mathit{x}({\varphi }_1^{\ast }\frac{\partial {\varphi }_2}{\partial t}-\frac{\partial {\varphi }_1^{\ast }}{\partial t}{\varphi }_2)}}$$

で定義される。

問題点

下記の通り、クライン-ゴルドン方程式は、計算すると負のエネルギーと負の確率が表れてしまう。この問題により一時、クライン-ゴルドン方程式は否定されてしまうが、後ほど場の量子論に発展することで解決される。

負のエネルギー

エネルギーと運動量の固有値は同時に確定（観測）でき、相対論のエネルギーと運動量の関係式を満たすので、

$$E=\pm \sqrt{{\mathit{p}}^2+m^2}$$

と負のエネルギー解が出てしまう。（もし、負のエネルギーがあるなら、エネルギー保存則を破らずに正のエネルギーを無限に取り出せてしまう）

負の確率

簡単にある$\mathit{k}$の平面波解$\varphi =a_{\mathit{k}}{e}^{-ik\cdot x}=a_{\mathit{k}}{e}^{i(\mathit{p}\cdot \mathit{x}-Et)}$を使い、上記で求めた内積を使って、確率密度を計算してみると

$$\begin{array}{rcl}\rho & =& i({\varphi }^{\ast }\frac{\partial \varphi }{\partial t}-\frac{\partial {\varphi }^{\ast }}{\partial t}\varphi )\\ & =& i\{a_{\mathit{k}}{e}^{ik\cdot x}(-a_{\mathit{k}}iE{e}^{-ik\cdot x})-a_{\mathit{k}}iE{e}^{ik\cdot x}{a}_{\mathit{k}}{e}^{-ik\cdot x}\}\\ & =& 2a_{\mathit{k}}^{2}E\end{array}$$

となり、負のエネルギー解があるため、負の確率密度が出てしまう。