相互作用描像

摂動計算に便利な相互作用描像（もしくはディラック描像と言う）を考えます。

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シュレディンガー描像とハイゼンベルグ描像のおさらい

時刻$t_0=0$ですべての描像は一致するとする。量子力学の時間発展は、状態ベクトルが変化するシュレディンガー描像（添字$S$）、

$$|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S=e^{-iH(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$$

もしくは、演算子が変化するハイゼンベルク描像（添字$H$）、

$$Q_H(t)=e^{iH(t-t_0)}Q(t_0)e^{-iH(t-t_0)}$$

で表すことができ、どちらも結果は同じだから、

$${}_S⟨\mathrm{\Psi }(t)|Q(t_0)|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S=⟨\mathrm{\Psi }(t_0)|Q_H(t)|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩$$

となる。相互作用をしない場合は、ハミルトニアンが時間に依らないのでそのまま時間発展の式が計算できるが、相互作用をする場合は、ハミルトニアンが時間で変化してしまうので時間発展の式の計算ができない。

相互作用描像の導入

まず、ハミルトニアンを相互作用を含まない項$H_0$と相互作用項$H_I(t)$に分ける。

$$H(t)=H_0+H_I(t)$$

相互作用描像（添字$D$）の演算子を、ハイゼンベルク描像のように$H_0$で演算子が変化するように定義すると、

$$\boxed{{\displaystyle Q_D(t)\equiv e^{i{H}_0(t-t_0)}Q(t_0)e^{-i{H}_0(t-t_0)}}}$$

となり、相互作用描像とハイゼンベルグ描像の関係は、

$$Q_D(t)\equiv e^{i{H}_0(t-t_0)}{e}^{-iH(t-t_0)}{Q}_H(t)e^{iH(t-t_0)}{e}^{-i{H}_0(t-t_0)}$$

となる。次に、定義した相互作用描像の演算子を使って相互作用描像とシュレディンガー描像の関係を考える。演算子の期待値は描像に依らないので、相互作用描像の状態$|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D$は、

$$\begin{array}{rcl}{}_S⟨\mathrm{\Psi }(t)|Q(t_0)|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S& =& {}_D⟨\mathrm{\Psi }(t)|Q_D(t)|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D\\ & =& {}_D⟨\mathrm{\Psi }(t)|e^{i{H}_0(t-t_0)}Q(t_0)e^{-i{H}_0(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D\end{array}$$

となる。したがって、シュレディンガー描像と相互作用描像の関係式は、

$$|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D=e^{i{H}_0(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S$$

となり、相互作用描像での状態ベクトルは、

$$\boxed{{\displaystyle |\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D=e^{i{H}_0(t-t_0)}{e}^{-iH(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t_0)⟩}}$$

となる。2つ前の式の両辺に$i$を掛けて$t$で微分すると、

$$\begin{array}{rcl}i\frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D& =& i\frac{\partial }{\partial t}\{e^{i{H}_0(t-t_0)}\}|\mathrm{\Psi }(t_0){⟩}_S+e^{i{H}_0(t-t_0)}i\frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S\\ & =& -H_0{e}^{i{H}_0(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S+e^{i{H}_0(t-t_0)}H(t_0)|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S（\mathrm{第}2\mathrm{項}\mathrm{は}\mathrm{演}\mathrm{算}\mathrm{子}\mathrm{に}\mathrm{書}\mathrm{き}\mathrm{換}\mathrm{え}\mathrm{て}\mathrm{い}\mathrm{る}\mathrm{が}、\mathrm{シ}\mathrm{ュ}\mathrm{レ}\mathrm{デ}\mathrm{ィ}\mathrm{ン}\mathrm{ガ}\mathrm{ー}\mathrm{描}\mathrm{像}\mathrm{で}\mathrm{は}\mathrm{演}\mathrm{算}\mathrm{子}\mathrm{は}\mathrm{常}\mathrm{に}{t}_0\mathrm{と}\mathrm{な}\mathrm{る}）\\ & =& -H_0{e}^{i{H}_0(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S+e^{i{H}_0(t-t_0)}(H_0+H_I(t_0))|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S\\ & =& e^{i{H}_0(t-t_0)}{H}_I(t_0)|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_S\\ & =& e^{i{H}_0(t-t_0)}{H}_I(t_0)e^{-i{H}_0(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D\end{array}$$
となる。先ほどの相互作用描像の演算子の定義より、

$$\boxed{i\frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D=H_I(t)|\mathrm{\Psi }(t){⟩}_D}$$

となり、ちょうど$H_I(t)$でシュレディンガー描像のように状態ベクトルが変化する式となる。（但し、$H_I(t)$が時間に依存するので、時間発展を解析的に計算することはできない）

以上より、相互作用描像は、演算子（基底ベクトル）がハイゼンベルク描像のように$H_0$で変化し、状態ベクトルがシュレディンガー描像のように$H_I(t)$で変化する描像だと言える。

基底ベクトルの時間発展

基底ベクトルを$|k⟩$と書く。シュレディンガー描像と相互作用描像の関係式より、
$$|k(t){⟩}_D=e^{i{H}_0(t-t_0)}|k(t){⟩}_S$$
となるが、シュレディンガー描像では基底ベクトルは時間発展せず、時刻$t_0$ではすべての描像は一致するから、相互作用描像の基底ベクトルの時間発展は、
$$\boxed{|k(t){⟩}_D=e^{i{H}_0(t-t_0)}|k(t_0)⟩}$$
となる。自由粒子の生成・消滅演算子が時刻$t_0=0$で量子化されていることを思い出すと、実験の初期値で自由粒子の個数（生成演算子）がわかっていれば、そこから$|k(t){⟩}_D$を求めることができる。

以下、生成消滅演算子を使った基底ベクトルの時間発展を3通りで書いておく。もちろん、どれも同じ結果となる。

$$\begin{array}{rcl}|k(t){⟩}_D& =& a_k^{†}(t)|0(t){⟩}_D\\ & =& e^{i{H}_0(t-t_0)}{a}_k^{†}(t_0)|0(t_0)⟩（\mathrm{上}\mathrm{記}\mathrm{の}\mathrm{基}\mathrm{底}\mathrm{ベ}\mathrm{ク}\mathrm{ト}\mathrm{ル}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{発}\mathrm{展}）\\ & =& e^{i{H}_0(t-t_0)}{a}_k^{†}(t_0)e^{-i{H}_0(t-t_0)}\cdot e^{i{H}_0(t-t_0)}|0(t_0)⟩（\mathrm{演}\mathrm{算}\mathrm{子}\mathrm{と}\mathrm{基}\mathrm{底}\mathrm{ベ}\mathrm{ク}\mathrm{ト}\mathrm{ル}\mathrm{が}\mathrm{別}々\mathrm{に}\mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{発}\mathrm{展}）\\ & =& a_k^{†}(t_0)e^{i{H}_0(t-t_0)}\cdot e^{i{H}_0(t-t_0)}|0(t_0)⟩（\mathrm{演}\mathrm{算}\mathrm{子}\mathrm{が}\mathrm{調}\mathrm{和}\mathrm{振}\mathrm{動}\mathrm{の}\mathrm{変}\mathrm{位}\mathrm{の}\mathrm{よ}\mathrm{う}\mathrm{に}\mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{発}\mathrm{展}）\end{array}$$

ちなみに最後の2式から、

$$e^{i{H}_0(t-t_0)}{a}_k^{†}(t_0)e^{-i{H}_0(t-t_0)}=a_k^{†}(t_0)e^{i{H}_0(t-t_0)}$$

となるが、キャンベル・ベーカー・ハウスドルフの公式として知られている。