経路積分 – bono.life

時刻

t_{i}

、位置

q_{i}

に観測された粒子が、時刻

t_{f}

、位置

q_{f}

で観測される確率振幅は、シュレディンガー描像で

$⟨ q_{f} (t_{i}) | e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} (t_{f} - t_{i})} | q_{i} (t_{i}) ⟩ = ⟨ q_{f} (t_{i}) | e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} (t_{f} - t_{i})} | ψ (t_{i}) ⟩ = ⟨ q_{f} (t_{i}) | ψ (t_{f}) ⟩$

となる。（ちなみに添字の $i$ はイニシャル、 $f$ はファイナルの意味）シュレディンガー描像とハイゼンベルク描像の関係

$| q (t) ⟩_{H} = e^{\frac{i}{ℏ} \hat{H} (t - t_{0})} | q (t_{0}) ⟩_{S}$

から、ハイゼンベルク描像での確率振幅は

$_{S} ⟨ q_{f} (t_{i}) | e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} (t_{f} - t_{i})} | q_{i} (t_{i}) ⟩_{S} =_{H} ⟨ q_{f} (t_{f}) | q_{i} (t_{i}) ⟩_{H}$

となる。以下、ハイゼンベルク描像で考える。時刻を $N$ 分割し

$t_{f} = t_{N} > t_{N - 1} > \dots > t_{1} > t_{0} = t_{i}$

で完全系を挟むと

$⟨ q_{f} (t_{f}) | q_{i} (t_{i}) ⟩ = \int d q_{N - 1} \dots \int d q_{1} ⟨ q_{f} (t_{f}) | q_{N - 1} (t_{N - 1}) ⟩ ⟨ q_{N - 1} (t_{N - 1}) | \dots | q_{1} (t_{1}) ⟩ ⟨ q_{1} (t_{1}) | q_{i} (t_{i}) ⟩$

となる。式中の微少時間の確率振幅を1つ取り出すと

$\begin{array}{rcl} _{H} ⟨ q_{n} (t_{n}) | q_{n - 1} (t_{n - 1}) ⟩_{H} & = & _{S} ⟨ q_{n} | e^{- \frac{i}{ℏ} \hat{H} Δ t} | q_{n - 1} ⟩_{S} \\ = & _{S} ⟨ q_{n} | [1 - \frac{i}{ℏ} \hat{H} Δ t + \dots] | q_{n - 1} ⟩_{S} \\ ≃ & \int d p_{n}_{S} ⟨ q_{n} | [1 - \frac{i}{ℏ} (\frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (\hat{q})) Δ t] | p_{n} ⟩ ⟨ p_{n} | q_{n - 1} ⟩_{S} \\ = & \int d p_{n}_{S} ⟨ q_{n} | p_{n} ⟩ [1 - \frac{i}{ℏ} (\frac{p_{n}^{2}}{2 m} + V (q_{n})) Δ t] ⟨ p_{n} | q_{n - 1} ⟩_{S} \\ ≃ & \int d p_{n} \frac{1}{\sqrt{(2 π ℏ)}} e^{\frac{i}{ℏ} p_{n} q_{n}} \cdot e^{- \frac{i}{ℏ} H Δ t} \cdot \frac{1}{\sqrt{(2 π ℏ)}} e^{- \frac{i}{ℏ} p_{n} q_{n - 1}} \\ = & \int \frac{d p_{n}}{(2 π ℏ)} e^{\frac{i}{ℏ} (p_{n} Δ q_{n} - H Δ t)} \\ = & \int \frac{d p_{n}}{(2 π ℏ)} e^{\frac{i Δ t}{ℏ} {\frac{p_{n}}{m} (m \frac{Δ q_{n}}{Δ t}) - (\frac{p_{n}^{2}}{2 m} + V (q_{n}))}} \\ = & \int \frac{d p_{n}}{(2 π ℏ)} e^{\frac{i Δ t}{ℏ} (\frac{p_{n}^{2}}{2 m} - V (q_{n}))} （ m \frac{Δ q_{n}}{Δ t} = m v_{n} = p_{n} より） \\ = & \sqrt{\frac{m}{2 π i ℏ Δ t}} e^{\frac{i Δ t}{ℏ} (\frac{p_{n}^{2}}{2 m} - V (q_{n}))} （ガウス積分の公式 \int e^{- a x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{a}} より） \end{array}$

となるので、元の確率振幅の式は $N$ を極限とると

$\begin{array}{rcl} ⟨ q_{f} (t_{f}) | q_{i} (t_{i}) ⟩ & = & lim_{N \to \infty} (\sqrt{\frac{m}{2 π i ℏ Δ t}} \prod_{n = 1}^{N - 1} \int d q_{n}) e^{\sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{i Δ t}{ℏ} (\frac{p_{n}^{2}}{2 m} - V (q_{n}))} \\ = & \int D_{q} e^{\frac{i}{ℏ} \int d t L} \end{array}$

となる。ここで $D_{q}$ は積分測度として

$\int D_{q} \equiv lim_{N \to \infty} (\sqrt{\frac{m}{2 π i ℏ Δ t}} \prod_{n = 1}^{N - 1} \int d q_{n})$

で定義され、多重積分の極限となっている。最終的に確率振幅は、作用を使って

$⟨ q_{f} (t_{f}) | q_{i} (t_{i}) ⟩ = \int D_{q} e^{\frac{i}{ℏ} S}$

と表すことができる。

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