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時刻\(t_i\)、位置\(q_i\)に観測された粒子が、時刻\(t_f\)、位置\(q_f\)で観測される確率振幅は、シュレディンガー描像で
$$\langle q_f(t_i)|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_f-t_i)}|q_i(t_i)\rangle=\langle q_f(t_i)|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_f-t_i)}|\psi(t_i)\rangle=\langle q_f(t_i)|\psi(t_f)\rangle$$
となる。（ちなみに添字の\(i\)はイニシャル、\(f\)はファイナルの意味）シュレディンガー描像とハイゼンベルク描像の関係
$$|q(t)\rangle_H=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t-t_0)}|q(t_0)\rangle_S$$
から、ハイゼンベルク描像での確率振幅は
$${}_S\langle q_f(t_i)|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}(t_f-t_i)}|q_i(t_i)\rangle_S={}_H\langle q_f(t_f)|q_i(t_i)\rangle_H$$
となる。以下、ハイゼンベルク描像で考える。時刻を\(N\)分割し
$$t_f=t_N>t_{N-1}>\cdots>t_1>t_0=t_i$$
で完全系を挟むと
$$\langle q_f(t_f)|q_i(t_i)\rangle=\int dq_{N-1}\cdots\int dq_1\langle q_f(t_f)|q_{N-1}(t_{N-1})\rangle\langle q_{N-1}(t_{N-1})|\cdots|q_1(t_1)\rangle\langle q_1(t_1)|q_i(t_i)\rangle$$
となる。式中の微少時間の確率振幅を1つ取り出すと
$$\begin{eqnarray}
{}_H\langle q_n(t_n)|q_{n-1}(t_{n-1})\rangle_H&=&{}_S\langle q_n|e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\mathit{\Delta}t}|q_{n-1}\rangle_S\\
&=&{}_S\langle q_n|\left[1-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\mathit{\Delta}t+\cdots\right]|q_{n-1}\rangle_S\\
&\simeq&\int dp_n{}_S\langle q_n|\left[1-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{q})\right)\mathit{\Delta}t\right]|p_n\rangle\langle p_n|q_{n-1}\rangle_S\\
&=&\int dp_n{}_S\langle q_n|p_n\rangle\left[1-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{p^2_n}{2m}+V(q_n)\right)\mathit{\Delta}t\right]\langle p_n|q_{n-1}\rangle_S\\
&\simeq&\int dp_n\frac{1}{\sqrt{(2\pi\hbar)}}e^{\frac{i}{\hbar}p_nq_n}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H\mathit{\Delta}t}\cdot\frac{1}{\sqrt{(2\pi\hbar)}}e^{-\frac{i}{\hbar}p_nq_{n-1}}\\
&=&\int\frac{dp_n}{(2\pi\hbar)}e^{\frac{i}{\hbar}(p_n\mathit{\Delta}q_n-H\mathit{\Delta}t)}\\
&=&\int\frac{dp_n}{(2\pi\hbar)}e^{\frac{i\mathit{\Delta}t}{\hbar}\left\{\frac{p_n}{m}\left(m\frac{\mathit{\Delta}q_n}{\mathit{\Delta}t}\right)-\left(\frac{p_n^2}{2m}+V(q_n)\right)\right\}}\\
&=&\int\frac{dp_n}{(2\pi\hbar)}e^{\frac{i\mathit{\Delta}t}{\hbar}\left(\frac{p_n^2}{2m}-V(q_n)\right)}（m\frac{\mathit{\Delta}q_n}{\mathit{\Delta}t}=mv_n=p_nより）\\
&=&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\mathit{\Delta}t}}e^{\frac{i\mathit{\Delta}t}{\hbar}\left(\frac{p_n^2}{2m}-V(q_n)\right)}（ガウス積分の公式 \int e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}より）
\end{eqnarray}$$
となるので、元の確率振幅の式は\(N\)を極限とると
$$\begin{eqnarray}
\langle q_f(t_f)|q_i(t_i)\rangle&=&\lim_{N\to\infty}\left(\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\mathit{\Delta}t}}\prod_{n=1}^{N-1}\int dq_n\right)e^{\sum_{n=1}^{N-1}\frac{i\mathit{\Delta}t}{\hbar}\left(\frac{p_n^2}{2m}-V(q_n)\right)}\\
&=&\int\mathcal{D}_qe^{\frac{i}{\hbar}\int dtL}
\end{eqnarray}$$
となる。ここで\(\mathcal{D}_q\)は積分測度として
$$\int\mathcal{D}_q\equiv\lim_{N\to\infty}\left(\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar\mathit{\Delta}t}}\prod_{n=1}^{N-1}\int dq_n\right)$$
で定義され、多重積分の極限となっている。最終的に確率振幅は、作用を使って
$$\fbox{\(\langle q_f(t_f)|q_i(t_i)\rangle=\int\mathcal{D}_qe^{\frac{i}{\hbar}S}\)}$$
と表すことができる。
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