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ポアソン方程式とは
\(f(x)\)が与えられたとき、
$$\boxed{\Delta \phi(x)=-f(x)}$$
を満たす\(\phi(x)\)を求める2階の楕円型偏微分方程式をポアソン方程式と言う。楕円形の意味は、ダランベール\(\Delta=\boldsymbol{\nabla}^2=\partial_t^2-\boldsymbol{\nabla}^2\)の式の形からきている。
電磁気学におけるポアソン方程式の具体例
マクスウェル方程式の
$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
に電磁場\(\boldsymbol{E}\)と静電ポテンシャル\(\phi\)の関係式
$$\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{\nabla}\phi$$
を代入すると
$$\Delta\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
となリ、電荷密度\(\rho\)の分布が与えられた場合の静電ポテンシャルを求めるポアソン方程式となる。
ポアソン方程式の特殊解
領域\(V\)と、その外で0になる関数\(f(\boldsymbol{x})\)に対するポアソン方程式の解は、
$$\boxed{\phi(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{f(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}}$$
となる。先程の電磁気学の例で言えば、\(f(\boldsymbol{x})=\rho/\varepsilon_0\)なので、領域\(V\)の中にのみ電荷が分布する。ある任意の点電荷の位置を\(\boldsymbol{y}\)として、積分を無視して考えれば、
$$\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}$$
と、\(\boldsymbol{y}\)にある点電荷が作る位置\(\boldsymbol{x}\)での静電ポテンシャルの式となる。したがって、領域\(V\)で\(\boldsymbol{y}\)を積分すれば、重ね合わせの原理で、位置\(\boldsymbol{x}\)での全体の静電ポテンシャルが求まる。
特殊解の証明とグリーン関数
証明は、特殊解をポアソン方程式に代入して\(-f(x)\)となれば良いが、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}\)のとき、特殊解の被積分関数の分母が0になり発散してしまうので、まずは、\(y\)の積分領域\(V\)を\(x\)を含む領域\(V_i\)と\(x\)を含まない領域\(V_e\)に分けて
$$\Delta\phi=\Delta\frac{1}{4\pi}\int_{V_i}\frac{f(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}+\Delta\frac{1}{4\pi}\int_{V_e}\frac{f(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}$$
を考える。領域\(V_e\)では発散しないのでそのまま計算すると、
$$\Delta\frac{1}{4\pi}\int_{V_e}\frac{f(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}d\boldsymbol{y}=\frac{1}{4\pi}\int_{V_e}f(\boldsymbol{y})\left(\Delta\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\right)d\boldsymbol{y}=0（\Deltaは\boldsymbol{x}にのみ作用する。※計算は下記参照）$$
となる。これは、電磁気学の例で見ると、
$$\Delta\phi=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\nabla}\phi=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{E}=0$$
となり、\(\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{y}\)だから、電荷が無い場所では電場の発散が0になることと対応している。したがって、この特殊解をポアソン方程式に代入して値を持つのは、領域\(V_i\)の\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)の時のみだから、ポアソン方程式は、デルタ関数を使って
$$\Delta\phi=-\int_V\delta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})f(\boldsymbol{y})d\boldsymbol{y}=-f(\boldsymbol{x})$$
のように書ける。ここで関数\(G\)を
$$\boxed{\Delta G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})=-\delta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})}$$
と定義すると、
$$\Delta\int_{V}G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})f(\boldsymbol{y})d\boldsymbol{y}=-f(\boldsymbol{x})$$
となるので、関数\(G\)と特殊解を見比べて、
$$G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}$$
となっていれば、特殊解がポアソン方程式を満たすことを証明できる。このように微分方程式の境界値問題を解くために導入される関数\(G\)をグリーン関数と呼ぶ。（従って、グリーン関数は決まった式があるわけではなく、解きたい微分方程式によって式が変わる）\(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\)として、関数\(G\)の定義式より、
$$\Delta G(\boldsymbol{r})=-\frac{1}{(2\pi)^3}\int e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{k}（デルタ関数のフリーエ変換より）$$
となるので、\(\boldsymbol{x}\)で微分して右辺になるように考えると、グリーン関数は、
$$G(\boldsymbol{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{1}{k^2} e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{k}$$
となる。更に極座標で考えると
$$\begin{eqnarray}
G(\boldsymbol{r})&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_0^{\pi} d\theta\int_0^{2\pi} d\varphi \ \frac{1}{k^2}e^{ikr\cos\theta}k^2\sin\theta\\
&=&-\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_1^{-1} d\mu\int_0^{2\pi} d\varphi \ e^{ikr\mu}（\cos\theta=\muとすると、-\sin\theta=\frac{d\mu}{d\theta}より）\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\int_{-1}^1 d\mu \ [\varphi e^{ikr\mu}]_0^{2\pi}\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty dk \ \left[\frac{1}{ikr}e^{ikr\mu}\right]_{-1}^1\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty dk \ \frac{1}{ikr}2i\sin(kr)（e^{\pm ikr}=\cos(kr)\pm i\sin(kr)より）\\
&=&\frac{1}{2\pi^2 r}\int_0^\infty dt \ \frac{\sin t}{t}（t=krとすると\frac{dt}{dk}=rより）\\
&=&\frac{1}{4\pi r}（\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}より）
\end{eqnarray}$$
となリ、確かに先程の式のとおりなので、特殊解がポアソン方程式を満たすことがわかる。
※\(\Delta\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\)の計算について
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x_1}|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\cdot 2(y_1-x_1)\cdot -1=-\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\\
\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}&=&-\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}\cdot -\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}=\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}\\
\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}&=&-\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^3}-3\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^4}\cdot -\frac{y_1-x_1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^5}\{3(y_1-x_1)^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2\}\\
\end{eqnarray}$$
\(x_2\)、\(x_3\)も同様に計算して
$$\Delta \frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^5}\{3(y_1-x_1)^2+3(y_2-x_2)^2+3(y_3-x_3)^2-3|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2\}=0$$
となる。
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