LSZの簡約公式

生成・消滅演算子と場の演算子の関係

LSZの簡約公式を求める前に、生成・消滅演算子と場の演算子の関係について考える。

量子力学を思い出すと、ある固有値が観測される確率振幅は、その固有関数と状態ベクトルの内積で、ちょうど状態ベクトルの展開係数となっていた。

クライン-ゴルドン方程式の内積を使って、運動量$\mathit{k}$の固有関数${\phi }_{\mathit{k}}$と状態ベクトル$\varphi$の内積を計算してみると、
$$\begin{array}{rcl}⟨\mathit{k}|\varphi ⟩& =& i\int d^3\mathit{x}({\phi }_{\mathit{k}}^{\ast }\frac{\partial \varphi }{\partial t}-\frac{\partial {\phi }_{\mathit{k}}^{\ast }}{\partial t}\varphi )\\ & =& i\int d^3\mathit{x}[\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}\right\}\{\int d^3{\mathit{k}}^{\prime }\frac{-i{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}}(a_{{\mathit{k}}^{\prime }}{e}^{-i{k}^{\prime }x}-a_{{\mathit{k}}^{\prime }}^{\ast }{e}^{i{k}^{\prime }x})\}-\left\{\frac{i{\omega }_{\mathit{k}}}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}\right\}\{\int d^3{\mathit{k}}^{\prime }\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}}(a_{{\mathit{k}}^{\prime }}{e}^{-i{k}^{\prime }x}+a_{{\mathit{k}}^{\prime }}^{\ast }{e}^{i{k}^{\prime }x})\}]\\ & =& \iint d^3\mathit{x}{d}^3{\mathit{k}}^{\prime }\frac{{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}{(2\pi {)}^3\sqrt{{\omega }_{\mathit{k}}{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}}{a}_{{\mathit{k}}^{\prime }}{e}^{-i(\mathit{k}\mathit{x}-{\omega }_{\mathit{k}}t)+i({\mathit{k}}^{\prime }\mathit{x}-{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}t)}\\ & =& \int d^3{\mathit{k}}^{\prime }\frac{{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}{\sqrt{{\omega }_{\mathit{k}}{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }}}}{a}_{{\mathit{k}}^{\prime }}{e}^{i({\omega }_{\mathit{k}}-{\omega }_{{\mathit{k}}^{\prime }})t}\delta (-\mathit{k}+{\mathit{k}}^{\prime })（\mathrm{デ}\mathrm{ル}\mathrm{タ}\mathrm{関}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{公}\mathrm{式}\frac{1}{2\pi }\int e^{i(k-k^{\prime })x}dk=\delta (k-k^{\prime })\mathrm{よ}\mathrm{り}）\\ & =& a_{\mathit{k}}（\mathrm{デ}\mathrm{ル}\mathrm{タ}\mathrm{関}\mathrm{数}\mathrm{の}\mathrm{公}\mathrm{式}\int f(k^{\prime })\delta (k-k^{\prime })d{k}^{\prime }=f(k)\mathrm{よ}\mathrm{り}）\end{array}$$
となり、予想したとおり、状態ベクトルの展開係数が求まる。同様に
$$\begin{array}{rcl}⟨\varphi |\mathit{k}⟩& =& i\int d^3\mathit{x}(\varphi \frac{\partial {\phi }_{\mathit{k}}}{\partial t}-\frac{\partial \varphi }{\partial t}{\phi }_{\mathit{k}})（\mathrm{実}\mathrm{ス}\mathrm{カ}\mathrm{ラ}\mathrm{ー}\mathrm{場}\mathrm{で}\mathrm{は}\varphi ={\varphi }^{\ast }）\\ & =& a_{\mathit{k}}^{\ast }\end{array}$$
となる。以上より、クライン-ゴルドン方程式の展開係数と場の関係式は、
$$\begin{array}{rcl}{a}_{\mathit{k}}& =& i\int d^3\mathit{x}({\phi }_{\mathit{k}}^{\ast }\frac{\partial \varphi }{\partial t}-\frac{\partial {\phi }_{\mathit{k}}^{\ast }}{\partial t}\varphi )\\ & =& i\int d^3\mathit{x}[\left\{\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}\right\}\frac{\partial \varphi }{\partial t}-\left\{\frac{i{\omega }_{\mathit{k}}}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}\right\}\varphi ]\\ & =& \int d^3\mathit{x}\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}(i{\partial }_t+{\omega }_{\mathit{k}})\varphi \end{array}$$
となる。同様に（もしくは複素共役から）
$$a_{\mathit{k}}^{\ast }=\int d^3\mathit{x}\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{-ikx}(-i{\partial }_t+{\omega }_{\mathit{k}})\varphi$$
となる。さらに、4次元の表記にするために両辺を変形（時間で微分して積分）すると
$$\begin{array}{rcl}\int dt{\partial }_t{a}_{\mathit{k}}& =& \int dt\int d^3\mathit{x}\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{\partial }_t\{e^{ikx}(i{\partial }_t+{\omega }_{\mathit{k}})\varphi \}\\ & =& \int d^{4}x\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}\{i{\omega }_{\mathit{k}}{e}^{ikx}(i{\partial }_t\varphi +{\omega }_{\mathit{k}}\varphi )+e^{ikx}(i{\partial }_t^2\varphi +{\omega }_{\mathit{k}}{\partial }_t\varphi )\}\\ & =& \int d^{4}x\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}i{e}^{ikx}({\partial }_t^2+{\omega }_{\mathit{k}}^2)\varphi \\ & =& i\int d^{4}x\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}(\square +m^2)\varphi （{\omega }_{\mathit{k}}^2={\mathit{k}}^2+m^2=-{\mathbf{\nabla }}^2+m^2\mathrm{よ}\mathrm{り}）\end{array}$$
となり、左辺の積分を実行して、
$$a_{\mathit{k}}(\mathrm{\infty })-a_{\mathit{k}}(-\mathrm{\infty })=i\int d^{4}x\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{ikx}(\square +m^2)\varphi$$
となる。同様に（もしくは複素共役から）
$$a_{\mathit{k}}^{\ast }(\mathrm{\infty })-a_{\mathit{k}}^{\ast }(-\mathrm{\infty })=-i\int d^{4}x\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{\mathit{k}}}}{e}^{-ikx}(\square +m^2)\varphi$$
となる。展開係数と場を演算子に読み替えると、場の量子論での生成・消滅演算子と場の演算子の関係式が表せる。

LSZの簡約公式

ここから場の量子論に戻って、粒子がm個からn-m個に散乱することを考える。$t_i=-\mathrm{\infty }$、$t_f=\mathrm{\infty }$のとき、
$$\begin{array}{rcl}{}_D⟨f|S|i{⟩}_D& =& {}_H⟨f(t_f)|i(t_i){⟩}_H\\ & =& {}_H⟨\mathrm{\Omega }|a_{{\mathit{k}}_{m+1}}(t_f)\cdots a_{{\mathit{k}}_n}(t_f)\cdot a_{{\mathit{k}}_1}^{†}(t_i)\cdots a_{{\mathit{k}}_m}^{†}(t_i)|\mathrm{\Omega }{⟩}_H\\ & =& {}_H⟨\mathrm{\Omega }|T\{(a_{{\mathit{k}}_{m+1}}(t_f)-a_{{\mathit{k}}_{m+1}}(t_i))\cdots (a_{{\mathit{k}}_n}(t_f)-a_{{\mathit{k}}_n}(t_i))\cdot (a_{{\mathit{k}}_1}^{†}(t_i)-a_{{\mathit{k}}_1}^{†}(t_f))\cdots (a_{{\mathit{k}}_m}^{†}(t_i)-a_{{\mathit{k}}_m}^{†}(t_f))\}|\mathrm{\Omega }{⟩}_H（\mathrm{運}\mathrm{動}\mathrm{量}\mathrm{が}\mathrm{異}\mathrm{な}\mathrm{る}\mathrm{生}\mathrm{成}\mathrm{・}\mathrm{消}\mathrm{滅}\mathrm{演}\mathrm{算}\mathrm{子}\mathrm{は}\mathrm{交}\mathrm{換}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{な}\mathrm{の}\mathrm{で}、\mathrm{展}\mathrm{開}\mathrm{し}\mathrm{て}\mathrm{時}\mathrm{間}\mathrm{順}\mathrm{序}\mathrm{積}\mathrm{で}\mathrm{並}\mathrm{び}\mathrm{替}\mathrm{え}\mathrm{る}\mathrm{と}、\mathrm{結}\mathrm{局}１\mathrm{つ}\mathrm{前}\mathrm{の}\mathrm{式}\mathrm{の}\mathrm{項}\mathrm{し}\mathrm{か}\mathrm{残}\mathrm{ら}\mathrm{な}\mathrm{い}）\end{array}$$
となる。上記で求めた生成・消滅演算子と場の演算子の関係式を使って、
$$\boxed{{}_D⟨f|S|i{⟩}_D=\prod _{i=m+1}^n\{i\int d^4{x}_i\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{{\mathit{k}}_{\mathit{i}}}}}{e}^{i{k}_i{x}_i}({\square }_i+m^2)\}\prod _{i=1}^m\{i\int d^4{x}_i\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^{3}2{\omega }_{{\mathit{k}}_{\mathit{i}}}}}{e}^{-i{k}_i{x}_i}({\square }_i+m^2)\}{}_H⟨\mathrm{\Omega }|T\{{\varphi }_1\cdots {\varphi }_n\}|\mathrm{\Omega }{⟩}_H}$$
となり、この式をレーマン-ジマンチック-チンマーマン（LSZ）の簡約公式と言う。

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