ネーターの定理

一様性

経験的にいつでもどこでも物理法則は変わらない。これを時間と空間が一様と言う。

対称性

対称性は、ある連続的な微小変換をしても物理法則に変化が無いことを言う。 例えば、物理法則は、時間の一様性より、時間変換の対称性がある。これを時間対象性と言う。また、空間の一様性より、位置変換の対称性がある。これを並進対象性と言う。同様に、どこから見ても物理法則は変わらないので、回転変換の対称性がある。これを回転対象性と言う。

ネーターの定理

1918年、ドイツの女性数学者エミー・ネーターが「物理法則に対称性がある場合、それに対応した保存則が存在する」と発表した。これをネーターの定理と言う。結論から言えば、時間対称性からはエネルギー保存則が、並進対称性からは運動量保存則が、回転対称性からは角運動量保存則が導かれる。

ネーターの定理の導出

運動量保存則

並進対称性がある時、位置だけを変化（時間は固定）させてもラグランジアンは変化しない。ラグランジアンに任意の位置の変換を行うと$\delta L=0$となる。一般化座標ではなく位置ベクトル$r$で書くと、

$$\begin{array}{rcl}\delta L& =& \sum _i^n(\frac{\partial L}{\partial r_i}\delta r_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_i}\delta {\dot{r}}_i)\\ & =& 0\end{array}$$

となる。ここで、ラグランジュ方程式

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=0$$

を第1項に代入すると

$$\begin{array}{rcl}\delta L& =& \sum _i^n\{\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_i}\right)\delta r_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_i}\delta {\dot{r}}_i\}\\ & =& \sum _i^n\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{r}}_i}\delta r_i\right)\\ & =& \sum _i^n\frac{d}{dt}(p_i\cdot \delta r_i)\\ & =& 0\end{array}$$

となる。$\delta r$は時間に寄らない任意の定数なので、運動量$p$が時間によって変化しない保存量であることがわかる。

角運動量保存則

回転対称性がある時、向きだけを変化（時間は固定）させてもラグランジアンは変化しない。ラグランジアンに任意の回転の変換を行うと$\delta L=0$となる。一般化座標ではなく位置ベクトル$r$で書き、回転を回転面に垂直方向のベクトル$\delta \theta$で表すと、

$$\delta r=\delta \theta \times r$$

となる。先程の計算によると、並進対称性の結果は、

$$\sum _i^n\frac{d}{dt}(p_i\cdot \delta r_i)=0$$

であるから、

$$\begin{array}{rcl}\sum _i^n\frac{d}{dt}(p_i\cdot \delta r_i)& =& \sum _i^n\frac{d}{dt}(p_i\cdot \delta \theta \times r_i)\\ & =& \sum _i^n\frac{d}{dt}(\delta \theta \cdot r_i\times p_i)（\mathrm{ス}\mathrm{カ}\mathrm{ラ}\mathrm{ー}\mathrm{三}\mathrm{重}\mathrm{積}\mathrm{の}\mathrm{公}\mathrm{式}a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)\mathrm{よ}\mathrm{り}）\\ & =& 0\end{array}$$

となる。$\delta \theta$は時間に寄らない任意の定数なので、角運動量$r\times p$が時間によって変化しない保存量であることがわかる。

エネルギー保存則

時間対称性がある時、時間だけを変えてもラグランジアンの式は変化しないが、ラグランジアンに任意の時間変換を行うと、物体の運動によって、時間と共にラグランジアンの値も変化してしまう。（$\delta t$の変換で$\delta L=0$とはならない）このことは、ラグランジアンの変数が、$L(t)$のように陽に時間を含むことはないが、$L(q_i(t),\dot{q_i}(t))$のように陰に時間を含むため、時間を変化させると$q_i$も変化することに対応する。ラグランジアンを時間で全微分すると、

$$\begin{array}{rcl}\frac{dL}{dt}& =& \sum _i^n(\frac{\partial L}{\partial q_i}\frac{d{q}_i}{dt}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\frac{d{\dot{q}}_i}{dt})\\ & =& \sum _i^n(\frac{\partial L}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\ddot{q}}_i)\end{array}$$

となる。ここで、ラグランジュ方程式

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=0$$

を第1項に代入すると

$$\begin{array}{rcl}\frac{dL}{dt}& =& \sum _i^n\{\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right){\dot{q}}_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\ddot{q}}_i\}\\ & =& \sum _i^n\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i\right)\end{array}$$

となるので、

$$\frac{d}{dt}(\sum _i^n\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{\dot{q}}_i-L)=0$$

となり、()内が時間によって変化しない保存量であることがわかる。保存量は、運動量の関係式とルジャンドル変換より、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-L& =& p\dot{q}-L\\ & =& H\end{array}$$

となり、保存量がエネルギーであることがわかる。