特殊相対性理論における速度の合成則

速度の合成則

慣性系$K$に対して、慣性系$K^{\prime }$が$x$方向に速度$v_0$で運動しているとする。つまり、ローレンツ変換より、

$$\begin{array}{rcl}t& =& \frac{t^{\prime }+v_0{x}^{\prime }/c^2}{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}\\ x& =& \frac{x^{\prime }+v_0{t}^{\prime }}{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}\\ y& =& y^{\prime }\\ z& =& z^{\prime }\end{array}$$

となる。この時、慣性系$K^{\prime }$に対してある物体が

$${\mathit{v}}^{\mathbf{\prime }}=\frac{d{\mathit{x}}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}$$

で運動する時、慣性系$K$から見た物体の速度$\mathit{v}(v_x,v_y,v_z)$は、

$$\begin{array}{rcl}{v}_x& =& \frac{dx}{dt}=\frac{d}{d{t}^{\prime }}\left(\frac{x^{\prime }+v_0{t}^{\prime }}{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}\right)\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{v_x^{\prime }+v_0}{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}\\ v_y& =& \frac{dy}{dt}=\frac{d{y}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=v_y^{\prime }\frac{d{t}^{\prime }}{dt}\\ v_z& =& \frac{dz}{dt}=\frac{d{z}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=v_z^{\prime }\frac{d{t}^{\prime }}{dt}\end{array}$$

となる。ここで、

$$\frac{dt}{d{t}^{\prime }}=\frac{d}{d{t}^{\prime }}\frac{t^{\prime }+v_0{x}^{\prime }/c^2}{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}=\frac{1+v_0{v}_x^{\prime }/c^2}{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}$$

より、

$$\frac{d{t}^{\prime }}{dt}=\frac{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}{1+v_0{v}_x^{\prime }/c^2}$$

となるから、相対論での速度の合成則は、

$$\boxed{\begin{array}{rcl}{v}_x& =& \frac{v_x^{\prime }+v_0}{1+v_0{v}_x^{\prime }/c^2}\\ v_y& =& v_y^{\prime }\frac{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}{1+v_0{v}_x^{\prime }/c^2}\\ v_z& =& v_z^{\prime }\frac{\sqrt{1-(v_0/c{)}^2}}{1+v_0{v}_x^{\prime }/c^2}\end{array}}$$

となる。特に物体も$x$方向に運動している時、$v_x=v,v_y=v_z=0$であるから

$$\boxed{v=\frac{v^{\prime }+v_0}{1+v_0{v}^{\prime }/c^2}}$$

となる。