固有時と4元ベクトル

固有時の定義

相対論では、系によって流れる時間のスピードが異なる。ある系と共に動く時計が示す時間を、その慣性系の固有時$\tau$と言い、

$$(cd\tau {)}^2=(cdt{)}^2-(dx{)}^2-(dy{)}^2-(dz{)}^2$$

と定義される。系と共に動く場合は、$d\mathit{x}=0$だから、$d\tau =dt$となる。（当然そうなるように定義したわけだが）また、定義より、固有時$\tau$はローレンツ変換に対して不変量となっている。

固有時導入のメリット

今、座標系$K$に対して、座標系$K^{\prime }$が$x$軸方向に速度$v$で運動している時、$K$系から見た$K^{\prime }$系の固有時は、固有時の定義より、

$$(cd\tau {)}^2=(cdt{)}^2-(vdt{)}^2-(0dt{)}^2-(0dt{)}^2$$

となるので、

$$\boxed{d\tau =\sqrt{1-(v/c{)}^2}dt}$$

となる。もちろん、ローレンツ変換の計算

$$d\tau =d{t}^{\prime }=\frac{dt-(v/c^2)dx}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}=\frac{\{1-(v^2/c^2)\}dt}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}=\sqrt{1-(v/c{)}^2}dt$$

と同じになる。座標系がそれぞれ慣性系であれば(またはほんの一瞬あれば)、$v$は定数であるから、$d\tau$と$dt$は比例関係となっている。つまり、時間の流れるスピードが違うだけで、どちらの時間を使って物理法則を作っても、尺度が違うだけで同様に成り立つ。そして、固有時は不変量なので、固有時を使えば、ローレンツ変換に対応したさまざまな4元ベクトルを記述することができる。次の速度の例で具体的に見てみる。

4元ベクトル

4元微分

4元位置ベクトル$x^{\mu }(ct,\mathit{x})$に対応した4元微分演算子${\partial }_{\mu }$を

$$\begin{array}{r}{\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=\left(\begin{array}{c}{\partial }_t/c\\ {\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\end{array}\right)\end{array}$$

で定義する。

4元速度

4元位置ベクトル$x^{\mu }(ct,\mathit{x})$に対応した4元速度$u^{\mu }$を

$$\begin{array}{r}{u}^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=\left(\begin{array}{c}cdt/d\tau \\ dx/d\tau \\ dy/d\tau \\ dz/d\tau \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\left(\begin{array}{c}cdt/dt\\ dx/dt\\ dy/dt\\ dz/dt\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\left(\begin{array}{c}c\\ v_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right)\end{array}$$

で定義する。4元ベクトルを不変量$\tau$で割ったので、4元速度もローレンツ変換に従う。最後の項を見てわかる通り、速度を定数で割っているので、固有時の時と同様に尺度を変えただけである。また、内積は

$$u^{\mu }{u}_{\mu }={\left\{\frac{1}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\right\}}^2\left(\begin{array}{cc}c& \mathit{v}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c\\ -\mathit{v}\end{array}\right)=\frac{c^2-v^2}{1-(v/c{)}^2}=c^2$$

となり、ローレンツ不変量となっている。

4元運動量

4元運動量$p^{\mu }$は、4元速度$u_i^{\mu }$に静止質量$m_0$を掛けて定義する。静止質量$m_0$と質量$m$の関係は、

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$$

であるから、

$$\boxed{\begin{array}{r}{p}^{\mu }=m_0{u}^{\mu }=\left(\begin{array}{c}E/c\\ p_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right)\end{array}}$$

となる。内積は、

$$p^{\mu }{p}_{\mu }=\left(\begin{array}{cc}E/c& \mathit{p}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E/c\\ -\mathit{p}\end{array}\right)=m_0^2{u}^{\mu }{u}_{\mu }=m_0^2{c}^2$$

となり、ローレンツ不変量となっている。

4元電流

一般的に、電流$\mathit{i}$は、電荷密度$\rho$と速度$\mathit{v}$を使って

$$\mathit{i}=\frac{q}{dS\cdot dt}=\frac{q}{dV}\frac{dx}{dt}=\rho \mathit{v}$$

と表される。したがって、4元電流$j^{\mu }$は、4元速度$u^{\mu }$に静止している電荷密度${\rho }_0$を掛けて定義する。また、ローレンツ収縮より、静止している電荷密度${\rho }_0$と動いている電荷密度$\rho$の関係は、

$$\rho =\frac{{\rho }_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$$

であるから

$$\boxed{\begin{array}{r}{j}^{\mu }={\rho }_0{u}^{\mu }=\left(\begin{array}{c}c\rho \\ i_x\\ i_y\\ i_z\end{array}\right)\end{array}}$$

$$j^{\mu }{j}_{\mu }=\left(\begin{array}{cc}c\rho & \mathit{i}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c\rho \\ -\mathit{i}\end{array}\right)={\rho }_0^2{u}^{\mu }{u}_{\mu }=c^2{\rho }_0^2$$

となり、ローレンツ不変量となっている。

4元電磁ポテンシャル

ローレンツゲージのマクスウェル方程式は、

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{\Delta }-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})V& =& -\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ (\mathrm{\Delta }-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\mathit{A}& =& -{\mu }_0\mathit{i}\end{array}$$

であるから、

$$j^{\mu }=\left(\begin{array}{c}c\rho \\ \mathit{i}\end{array}\right)=-\frac{1}{{\mu }_0}\left(\begin{array}{c}-c^2{\mu }_0\rho /c\\ -{\mu }_0\mathit{i}\end{array}\right)=-\frac{1}{{\mu }_0}\left(\begin{array}{c}-\rho /{\epsilon }_{0}c\\ -{\mu }_0\mathit{i}\end{array}\right)=-\frac{1}{{\mu }_0}(\mathrm{\Delta }-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\left(\begin{array}{c}V/c\\ \mathit{A}\end{array}\right)$$

となり、最後の項のベクトル部分を取り出して、4元電磁ポテンシャル$A^{\mu }$を

$$\boxed{\begin{array}{r}{A}^{\mu }=\left(\begin{array}{c}V/c\\ A_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right)\end{array}}$$

と定義する。