電磁場テンソルを使った場合と、電磁ポテンシャルを使った場合の2通りの方法で、相対論に対応したマクスウェル方程式を考えます。
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電磁場テンソルを使ったマクスウェル方程式
電磁場の反変テンソルを
$$F^{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}$$
と定義すると、
$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
\partial_t/c\\
\partial_x\\
\partial_y\\
\partial_z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{1}{c}\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{1}{c}\frac{\partial E_z}{\partial z}\\
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}+\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}\\
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t}-\frac{\partial B_z}{\partial x}+\frac{\partial B_x}{\partial z}\\
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}+\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\mathrm{div}\boldsymbol{E}\\
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}+\mathrm{rot}\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\frac{1}{\varepsilon_0}\mathrm{div}\boldsymbol{D}\\
-\frac{1}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\mu_0\mathrm{rot}\boldsymbol{H}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
c\mu_0\mathrm{div}\boldsymbol{D}\\
-\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\mu_0\mathrm{rot}\boldsymbol{H}
\end{pmatrix}
（1/c^2=\mu_0\varepsilon_0より）$$
となるので、マクスウェル方程式の2式
$$\begin{eqnarray}
\mathrm{div}\boldsymbol{D}&=&\rho\\
\mathrm{rot}\boldsymbol{H}&=&\boldsymbol{i}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
\end{eqnarray}$$
は、4元電流\(j(c\rho,\boldsymbol{i})\)を使って、
$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0 j^\nu$$
とまとめることが出来る。また、電磁場の共変テンソル
$$F_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}$$
より、
$$\partial_\rho F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}=
\begin{pmatrix}
\partial_0 F_{12}+\partial_1 F_{20}+\partial_2 F_{01} \\
\partial_0 F_{23}+\partial_2 F_{30}+\partial_3 F_{02} \\
\partial_0 F_{31}+\partial_3 F_{10}+\partial_1 F_{03} \\
\partial_1 F_{23}+\partial_2 F_{31}+\partial_3 F_{12}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\frac{\partial B_z}{\partial t}+\frac{1}{c}\frac{\partial E_y}{\partial
x}-\frac{1}{c}\frac{\partial E_x}{\partial
y} \\
\frac{1}{c}\frac{\partial B_x}{\partial t}+\frac{1}{c}\frac{\partial E_z}{\partial
y}-\frac{1}{c}\frac{\partial E_y}{\partial
z} \\
\frac{1}{c}\frac{\partial B_y}{\partial t}+\frac{1}{c}\frac{\partial E_x}{\partial
z}-\frac{1}{c}\frac{\partial E_z}{\partial
x}\\
\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\frac{1}{c}\mathrm{rot}\boldsymbol{E} \\
\mathrm{div}\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}$$
となるので(※下記参照)、マクスウェル方程式の2式
$$\begin{eqnarray}
\mathrm{div}\boldsymbol{B}&=&0\\
\mathrm{rot}\boldsymbol{E}&=&-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
\end{eqnarray}$$
は、
$$\partial_\rho F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}=0$$
と、まとめることが出来る。あわせて、マクスウェル方程式は、
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\partial_\mu F^{\mu\nu}&=&\mu_0 j^\nu\\
\partial_\rho F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}&=&0
\end{eqnarray}\)}$$
となる。尚、２つ目の式は、導出に使用したマクスウェル方程式より、電磁ポテンシャルの定義式と同じ意味となっている。
電磁ポテンシャルを使ったマクスウェル方程式
$$\begin{eqnarray}
\Delta V+\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}&=&-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\
\left(\Delta-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial V}{\partial t}\right)&=&-\mu_0\boldsymbol{i}
\end{eqnarray}$$
であるが、1つ目の式を
$$\left(\Delta-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\frac{V}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial V}{\partial t}\right)=-\frac{\mu_0}{c}\frac{\rho}{\varepsilon_0\mu_0}$$
と変形できるので、電磁ポテンシャルの4元ベクトル\(A(V/c,\boldsymbol{A})\)を使って、マクスウェル方程式の2式は、
$$
-\left\{\begin{pmatrix}
\partial_t/c & \boldsymbol{\nabla}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\partial_t/c \\
-\boldsymbol{\nabla}
\end{pmatrix}\right\}
\begin{pmatrix}
V/c \\
\boldsymbol{A}
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
\partial_t/c \\
-\boldsymbol{\nabla}
\end{pmatrix}
\left\{\begin{pmatrix}
\partial_t/c & \boldsymbol{\nabla}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
V/c \\
\boldsymbol{A}
\end{pmatrix}\right\}=-\mu_0
\begin{pmatrix}
c\rho \\
\boldsymbol{i}
\end{pmatrix}
$$
より、
$$\fbox{\(\square A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)=\mu_0 j^\nu\)}$$
のように、1つの式にまとめることが出来る。ただし、別途、電磁ポテンシャルの定義式が2式ある。
電磁場テンソルと電磁ポテンシャルの関係
上記で求めた2つのマクスウェル方程式は、どちらも右辺が\(\mu_0 j^\nu\)なので、
$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\square A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)$$
となる。したがって、電磁場テンソルと電磁ポテンシャルの関係式は
$$\boxed{F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu}$$
となる。
ゲージ変換とローレンツゲージ
共変形式のマクスウェル方程式になっても、当然、ゲージ変換
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}$$
は成り立つ。ゲージ変換を共変形式で書くと
$$\fbox{\(A^\mu\rightarrow A’^\mu=A^\mu-\partial^\mu \chi\)}$$
となる。ゲージ変換が成り立つのであれば、ローレンツゲージ
$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial V}{\partial t}=0$$
をとることができる。ローレンツゲージを共変形式で書くと
$$\fbox{\(\partial_\mu A^\mu=0\)}$$
となるので、先ほど求めた電磁ポテンシャルを使ったマクスウェル方程式は、ローレンツゲージを使って、更に簡単に
$$\fbox{\(\square A^\nu=\mu_0 j^\nu\)}$$
と書くことができる。
※最初の式変形がなぜそうなるかと言うと、\((\rho,\mu,\nu)\)にそれぞれ0～3の4通りの数字を入れるので、64通りの式が出来る筈だが、数字の順番を入れ替えた組み合わせの場合は重複のため無効になる。例えば(0,1,2)と(1,2,0)は、
$$\partial_0 F_{12}+\partial_1 F_{20}+\partial_2 F_{01}=\partial_1 F_{20}+\partial_2 F_{01}+\partial_0 F_{12}$$
と同じ式が出来るだけで、2度書いても意味がない。(0,1,2)と(0,2,1)のように並び替えた場合は、
$$\partial_0 F_{12}+\partial_1 F_{20}+\partial_2 F_{01}=-(\partial_0 F_{21}+\partial_2 F_{10}+\partial_1 F_{02})$$
となり、電磁場テンソルの行と列が逆だが、符号が違うだけで最後に\(=0\)とするので、やはり同じ式となる。(0,1,2)と(2,1,0)は、上記2つの組み替えの組み合わせで説明できる。他の数字の並び替えも同様である。また、すべて同じ数字、例えば(0,0,0)などは、電磁場テンソルの対角成分が0なので、式はすべて0となる。1組だけ同じ数字、例えば(0,1,1)などは、
$$\partial_0 F_{11}+\partial_1 F_{10}+\partial_1 F_{01}=0$$
のように、やはり0となる。以上より、並び替えを考慮し、重複した数字を排除した組み合わせは、(0,1,2)(0,2,3)(0,3,1)(1,2,3)の4通りだけとなる。
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