電磁ポテンシャルとゲージ変換


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電磁ポテンシャル

磁場のベクトルポテンシャル
$$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$$
を導入すると、マクスウェル方程式
$$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$
より、
$$\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0$$
となる。したがって、スカラーポテンシャル\(V\)を
$$\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$
のように導入すると、\(\mathrm{rot}\cdot\mathrm{grad}\)は\(0\)だから、常に成り立つことがわかる。(このスカラーポテンシャルの式は、静電ポテンシャルを磁場が変化する場合に拡張したものと言える)

ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)とスカラーポテンシャル\(V\)を合わせて電磁ポテンシャルと言い、
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\boldsymbol{B}&=&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\\
\boldsymbol{E}&=&-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}
\end{eqnarray}\)}$$
で定義される。

ゲージ変換

ポテンシャルは基準値によって不定性がある。実際、任意の関数\(\chi\)を用いて
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}\)}$$
と変換しても何も変わらない。(電磁ポテンシャルの定義式に代入してみればわかる)このような変換をゲージ変換と言い、ゲージ変換によって物理が変わらないことをゲージ不変と言う。また、ゲージ変換してもマクスウェル方程式はそのまま成り立ち、マクスウェル方程式はゲージ対称性があると言う。

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