電磁ポテンシャルのマクスウェル方程式

電磁ポテンシャルを使ってマクスウェル方程式を書いたあと、ゲージ変換を使って式をきれいに整えます。

電磁ポテンシャルのマクスウェル方程式

マクスウェル方程式

$$\begin{eqnarray}
\mathrm{div}\boldsymbol{D}&=&\rho\\
\mathrm{div}\boldsymbol{B}&=&0\\
\mathrm{rot}\boldsymbol{H}&=&\boldsymbol{i}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\\
\mathrm{rot}\boldsymbol{E}&=&-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
\end{eqnarray}$$

を電磁ポテンシャル（ベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)とスカラーポテンシャル\(V\)）を使って書き換える。電磁ポテンシャルの定義式は

$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{B}&=&\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\\
\boldsymbol{E}&=&-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}
\end{eqnarray}$$

であるから、マクスウェル方程式の2つ目の式と4つ目の式は自動的に成り立つ。実際に計算してみれば、

$$\begin{eqnarray}
\mathrm{div}\boldsymbol{B}&=&\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})=0\\
\mathrm{rot}\boldsymbol{E}&=&\boldsymbol{\nabla}\times\left(-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
\end{eqnarray}$$

となり、常に成り立つことがわかる。残った2式については、まず1つ目の式は、

$$\begin{eqnarray}
左辺&=&\mathrm{div}\boldsymbol{D}=\boldsymbol{\nabla}\cdot\varepsilon\left(-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=-\varepsilon\left(\Delta V+\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)\\
右辺&=&\rho
\end{eqnarray}$$

となり、3つ目の式は、

$$\begin{eqnarray}
左辺&=&\mathrm{rot}\boldsymbol{H}=\frac{1}{\mu}\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})=\frac{1}{\mu}\{\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})-\Delta\boldsymbol{A}\}（ベクトル解析の公式\mathrm{rot}\mathrm{rot}\boldsymbol{A}=\mathrm{grad}\mathrm{div}\boldsymbol{A}-\Delta\boldsymbol{A}より）\\
右辺&=&\boldsymbol{i}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}=\boldsymbol{i}+\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left(-\boldsymbol{\nabla}V-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{\nabla}\varepsilon\frac{\partial V}{\partial t}-\varepsilon\frac{\partial^2}{\partial t^2}\boldsymbol{A}
\end{eqnarray}$$

となるので、マクスウェル方程式は、電磁ポテンシャルの定義式のほか、

$$\boxed{\begin{eqnarray}
\Delta V+\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}&=&-\frac{\rho}{\varepsilon}\\
\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon\mu\frac{\partial V}{\partial t}\right)&=&-\mu\boldsymbol{i}
\end{eqnarray}}$$

の2式となる。ただし、このままでは複雑なので、次に、ゲージ変換

$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}$$

を使って式を簡単にすることを考える。

クーロンゲージのマクスウェル方程式

任意の関数\(\chi\)を、微分方程式

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(A+\boldsymbol{\nabla}\chi)=0$$

を満たす関数と定義する。（重要なのは、この微分方程式を満たすということで、\(\chi\)が実際どのような関数であるかは問わない）すると、ゲージ変換より、

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot(A+\boldsymbol{\nabla}\chi)=\boldsymbol{\nabla}\cdot A’=0$$

が常に成り立つ。この時、ゲージ変換後の関係式

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot A’=0 $$

をクーロンゲージと言う。先ほど求めたマクスウェル方程式の2式は、ゲージ変換しても式の形は変わらないので、クーロンゲージを使って

$$\begin{eqnarray}
\Delta V’+\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}’}{\partial t}&=&\Delta V’=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\
\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}’-\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}’+\varepsilon\mu\frac{\partial V’}{\partial t}\right)&=& \left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}’-\boldsymbol{\nabla}\varepsilon\mu\frac{\partial}{\partial t}V’ =-\mu\boldsymbol{i}
\end{eqnarray}$$

と変形できる。以上より、電磁ポテンシャルの定義式およびクーロンゲージの関係式のほか、マクスウェル方程式は

$$\boxed{\begin{eqnarray}
\Delta V&=&-\frac{\rho}{\varepsilon}\\
\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\nabla}\varepsilon\mu\frac{\partial}{\partial t}V &=&-\mu\boldsymbol{i}
\end{eqnarray}}$$

の2式となる。

ローレンツゲージのマクスウェル方程式

クーロンゲージとは別のゲージ変換を考える。任意の関数\(\chi\)を、微分方程式

$$\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi+\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon\mu\frac{\partial V}{\partial t}\right)=0$$

を満たす関数と定義する。すると、ゲージ変換より、

$$\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\chi+\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon\mu\frac{\partial V}{\partial t}\right)=\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)+\varepsilon\mu\frac{\partial}{\partial t}\left(V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}’+\varepsilon\mu\frac{\partial V’}{\partial t}=0$$

が常に成り立つ。この時、ゲージ変換後の関係式

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}’+\varepsilon\mu\frac{\partial V’}{\partial t}=0$$

をローレンツゲージ（またはローレンツ条件）と言う。先ほど求めたマクスウェル方程式の2式は、ゲージ変換しても式の形は変わらないので、ローレンツゲージを使って

$$\begin{eqnarray}
\Delta V’+\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}’}{\partial t}&=&\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)V’=-\frac{\rho}{\varepsilon}\\
\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}’-\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}’+\varepsilon\mu\frac{\partial V’}{\partial t}\right)&=&\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}’=-\mu\boldsymbol{i}
\end{eqnarray}$$

と変形できる。以上より、電磁ポテンシャルの定義式およびローレンツゲージの関係式のほか、マクスウェル方程式は

$$\boxed{\begin{eqnarray}
\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)V&=&-\frac{\rho}{\varepsilon}\\
\left(\Delta-\varepsilon\mu\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\boldsymbol{A}&=&-\mu\boldsymbol{i}
\end{eqnarray}}$$

の2式となる。