ガンマ関数

ガンマ関数とは

自然数で定義される階乗の計算を複素数に拡張した特殊関数をガンマ関数と言う。（複素数で考えると複雑なので、しばらくは正の実数で考える）具体的には、\(x\gt 0\)のとき、\(y=x!\)のように表される関数を考える。

ガンマ関数の定義

1729年にオイラーによって考案されたガンマ関数\(\Gamma(x)\)は、

$$\boxed{\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt（x\gt 0）}$$

と定義される。どのように導出されたかはわからないが、この関数が実際に\(x\)の階乗を満たしていることを見ていく。

ガンマ関数の性質と階乗

\(\Gamma(x+1)\)の部分積分は、

\begin{eqnarray} \Gamma(x+1)&=&\int_0^\infty t^x e^{-t}dt\\ &=&\left[-t^x e^{-t}\right]^\infty_0-\int_0^\infty -xt^{x-1}e^{-t}dt\\ &=&(0-0)+x\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt \end{eqnarray}

であるから、

$$\boxed{\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}$$

となり、ガンマ関数の斬化式が表れる。xが自然数nの場合を考えると、

\begin{eqnarray} \Gamma(n+1)&=&n\Gamma(n)\\ &=&n(n-1)\Gamma(n-1)\\ &=&n(n-1)(n-2)\cdots\Gamma(1) \end{eqnarray}

となり、

$$\Gamma(1)=\int_0^\infty t^0 e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^\infty=0-(-1)=1$$

であるから、

$$\Gamma(n+1)=n!$$

となる。自然数のガンマ関数は、階乗の定義と一致する。

階乗の定義の拡張

再び、正の実数に戻して、ガンマ関数を考える。ガンマ関数\(\Gamma(x+1)\)のグラフは、下記のように自然数の階乗を含む連続したグラフとなる。

自然数の階乗はxが自然数のグラフ上の点に限られるが、階乗の定義をxの正の実数に拡張し、あらためて階乗を

$$\boxed{\Gamma(x+1)=x!}$$

と定義する。

実際の計算例

\(\Gamma(1)=0!\)の計算

\begin{eqnarray} \Gamma(1)&=&\int_0^\infty t^0 e^{-t}dt\\ &=&-\int_{-\infty}^0 e^x\frac{dt}{dx}dx（t=-xとおく）\\ &=&\int_{-\infty}^0 e^x dx\\ &=&[e^x]_{-\infty}^0\\ &=&1 \end{eqnarray}

\(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}!\)の計算

\begin{eqnarray} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)&=&\int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\ &=&\int_0^\infty x^{-1}e^{-x^2}\frac{dt}{dx}dx（t=x^2とおく）\\ &=&2\int_0^\infty e^{-x^2}dx\\ &=&\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\\ &=&\sqrt{\pi}（ガウス積分の公式より） \end{eqnarray}

\(\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}!\)の計算

\begin{eqnarray} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)&=&\int_0^\infty t^\frac{1}{2}e^{-t}dt\\ &=&\Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)\\ &=&\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)（\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)より）\\ &=&\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{eqnarray}

\(\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}!\)の計算

\begin{eqnarray} \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)&=&\int_0^\infty t^\frac{3}{2}e^{-t}dt\\ &=&\Gamma\left(\frac{3}{2}+1\right)\\ &=&\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)（\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)より）\\ &=&\frac{3\sqrt{\pi}}{4} \end{eqnarray}