テイラー展開

平均値の定理から、出来るだけ簡単にマクローリン展開とテイラー展開を求めます。

平均値の定理

微分可能な関数$y=f(x)$を考える。点$(a,f(a))$と点$(a+h,f(a+h))$の2点を結ぶ直線を2点間の平均の傾きとする。この時、$(a<x<a+h)$の区間に2点間の平均の傾きと同じ傾きの接線を持つ点が、必ず1つは存在することを平均値の定理と言い、接線を持つ点を$(b,f(b))$とすると、

$$\boxed{{\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\prime }(b)}}$$

となる。

マクローリン展開

平均値の定理で、$a$を0、$h$を$x$、$b$を${\theta }_{1}x$とすると、

$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime }({\theta }_{1}x)$$

となり、移項すると、

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }({\theta }_{1}x)x（0<{\theta }_1<1）$$

となる。関数$f(x)$を$x$の1次式で表しているが、${\theta }_1$の値は定まっていない。これは$f(x)$を表すのに、点$(0,f(0))$から点$(x,f(x))$までの直線の傾きに$x$を掛けて$f(0)$に足しているが、平均値の定理を元にしているため、直線の傾きを表す点が定まっていないことに由来する。同様に$f^{\prime }(x)$も同じ区間で微分可能だとすると、

$$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+f^{\prime \prime }({\theta }_{2}x)x（0<{\theta }_2<1）$$

となる。変数を$x$から${\theta }_{1}x$に変えて、先程の式に代入すると、

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& f(0)+\{f^{\prime }(0)+f^{\prime \prime }({\theta }_2{\theta }_{1}x){\theta }_{1}x\}x\\ & =& f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{\prime \prime }({\theta }_2{\theta }_{1}x){\theta }_1{x}^2\end{array}$$

となる。同様に2階微分は、

$$f^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(0)+f^{\prime \prime \prime }({\theta }_{3}x)x（0<{\theta }_3<1）$$

となり、変数を${\theta }_2{\theta }_{1}x$に変えて代入すると

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{\prime \prime }(0){\theta }_1{x}^2+f^{\prime \prime \prime }({\theta }_3{\theta }_2{\theta }_{1}x){\theta }_2{\theta }_1^2{x}^3$$

となる。更に続けていくと、

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{\prime \prime }(0){\theta }_1{x}^2+f^{\prime \prime \prime }(0){\theta }_2{\theta }_1^2{x}^3+\cdots +f^{(n)}({\theta }_n\cdots {\theta }_2{\theta }_{1}x){\theta }_{n-1}\cdots {\theta }_2^{n-2}{\theta }_1^{n-1}{x}^n$$

となる。${\theta }_{n-1}\cdots {\theta }_2^{n-2}{\theta }_1^{n-1}$は定数なので、各項の定数部分を$c_n$に置き換え、${\theta }_n\cdots {\theta }_2{\theta }_1$を$\theta$（$0<\theta <1$）とすると、

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{\prime \prime }(0)c_2{x}^2+f^{\prime \prime \prime }(0)c_3{x}^3+\cdots +f^{(n)}(\theta x)c_n{x}^n$$

となる。ここで両辺を2回微分すると、

$$f^{\prime \prime }(x)=2f^{\prime \prime }(0)c_2+\cdots$$

となり、$x=0$のときを考えると、

$$c_2=\frac{1}{2}$$

となる。続けて3回微分、4回微分を行うと、それぞれ定数部分が求まり、

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}{x}^n$$

となる。最後に$n$が$\mathrm{\infty }$のとき、$\theta ={\theta }_n\cdots {\theta }_2{\theta }_1$は0になるので、

$$\boxed{{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n}}$$

となる。この級数をマクローリン級数、この級数を得ることをマクローリン展開という。

テイラー展開

平均値の定理で、$a$を$a$のまま、$h$を$x-a$、$b$を$a+{\theta }_1(x-a)$とすると、

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a+{\theta }_1(x-a))(x-a)（0<{\theta }_1<1）$$

となる。対応を見て、マクローリン展開の$x$を$x-a$にすると、

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(a+\theta (x-a))}{n!}(x-a{)}^n$$

となるので、$n$が$\mathrm{\infty }$のとき、

$$\boxed{{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n}}$$

となる。この級数をテイラー級数、この級数を得ることをテイラー展開という。逆に言えば、テイラー展開の$a=0$の特別な場合が、マクローリン展開となっている。後述の具体例のとおり、マクローリン展開の方が応用が広い。テイラー展開の最後の項は、ラングランジュの剰余項$R_n$と言い、

$$R_n=\frac{f^{(n)}(a+\theta (x-a))}{n!}(x-a{)}^n$$

と表す。

マクローリン展開の具体例

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{1-x}& =& 1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots （\mathrm{但}\mathrm{し}|x|<1）\\ \frac{1}{1+x}& =& 1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots （\mathrm{但}\mathrm{し}|x|<1）\\ e^x& =& 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots \\ \sin x& =& x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \\ \cos x& =& 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \end{array}$$