表面項

物理でよく「表面項を落とす」と出てきますが、その意味を簡単に説明します。

表面項

部分積分の公式は、

$$\int_a^b f(x)\frac{d g(x)}{dx}dx=-\int_a^b \frac{d f(x)}{dx} g(x)dx+[f(x)g(x)]_a^b$$

であるが、右辺の第二項は積分範囲の表面（端）a,bのみで表されるため、表面項（surface time）と言う。

表面項を落とすとは

上記の部分積分の公式で\(a=-\infty\)、\(b=\infty\)として全空間を積分した場合を考える。\(x=\infty,-\infty\)で\(f(x)\)もしくは\(g(x)\)が0となる時、表面項も0となるので、表面項を落とす（もしくは消す）と言う。部分積分は、

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{d g(x)}{dx}dx=-\int_{-\infty}^\infty \frac{d f(x)}{dx} g(x)dx$$

となり、

$$f(x)\frac{d g(x)}{dx}=-\frac{d f(x)}{dx} g(x)$$

となる。無限遠方で物理の値が0となる場合に適用できる。