共変微分と量子力学でのゲージ変換

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電磁場と相互作用する量子力学

古典力学において、電磁場中を運動する荷電粒子のハミルトニアンは、自然単位系(\(c=\hbar=1\))で
$$H=\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{p}-q\boldsymbol{A}\right)^2+qV$$
となるので、量子力学のいつもの演算子の書き換え
$$\begin{eqnarray}
E&→&i\frac{\partial}{\partial t}\\
\boldsymbol{p}&→&-i\boldsymbol{\nabla}
\end{eqnarray}$$
を行うと、
$$\left(i\frac{\partial}{\partial t}-qV\right)\psi=\frac{1}{2m}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})^2\psi$$
となる。ここで、自由粒子のシュレディンガー方程式
$$i\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi$$
と比べると、量子力学において、電磁場中の荷電粒子の運動を記述する場合は、演算子を
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow D&\equiv&\frac{\partial}{\partial t}+iqV\\
\boldsymbol{\nabla}\rightarrow \boldsymbol{D}&\equiv&\boldsymbol{\nabla}-iq\boldsymbol{A}
\end{eqnarray}$$
と書き換えれば良いことがわかる。このような書き換えを共変微分と言う。

量子力学のゲージ変換

上記で求めた電磁場を含む波動方程式は、ゲージ変換
$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}
\end{eqnarray}$$
が適用できる筈である。(もしそうでないのなら、量子力学では電磁ポテンシャルの性質が変わってしまう)ただし、そのままゲージ変換しても式は成り立たない。結論から書くと、波動関数も
$$\psi\rightarrow\psi’=e^{iq\chi} \psi$$
の様に変換を受ける。この変換では、位相が変わるだけなので、実際の物理には影響しない。ゲージ変換とあわせて波動方程式に適用してみると、
$$\left\{i\frac{\partial}{\partial t}-q\left(V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)\right\}e^{iq\chi}\psi=\frac{1}{2m}\{-i\boldsymbol{\nabla}-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)\}^2e^{iq\chi}\psi$$
となり、さらに
$$\begin{eqnarray}
左辺&=&-qe^{iq\chi}\frac{\partial \chi}{\partial t}\psi+ie^{iq\chi}\frac{\partial}{\partial t}\psi-q\left(V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)e^{iq\chi}\psi\\
&=&\left(i\frac{\partial}{\partial t}-qV\right)e^{iq\chi}\psi\\
右辺&=&\frac{1}{2m}\{-i\boldsymbol{\nabla}-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)\}\{qe^{iq\chi}\boldsymbol{\nabla}\chi\cdot\psi-ie^{iq\chi}\boldsymbol{\nabla}\psi-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)e^{iq\chi}\psi\}\\
&=&\frac{1}{2m}\{-i\boldsymbol{\nabla}-q(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi)\}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})e^{iq\chi}\psi\\
&=&\frac{1}{2m}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})^2e^{iq\chi}\psi
\end{eqnarray}$$
となるので、ゲージ変換後の波動方程式は、
$$\left(i\frac{\partial}{\partial t}-qV\right)\psi’=\frac{1}{2m}(-i\boldsymbol{\nabla}-q\boldsymbol{A})^2\psi’$$
となる。期待した通り、変換前と同じ物理を表す式となっている。以上、まとめると、量子力学でのゲージ変換は、
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A}\rightarrow\boldsymbol{A}’&=&\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\nabla}\chi\\
V\rightarrow V’&=&V-\frac{\partial\chi}{\partial t}\\
\psi\rightarrow\psi’&=&e^{iq\chi} \psi
\end{eqnarray}\)}$$
となる。

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