特殊相対性理論における速度の合成則

スポンサーリンク

速度の合成則

慣性系\(K\)に対して、慣性系\(K’\)が\(x\)方向に速度\(v_0\)で運動しているとする。慣性系\(K’\)に対してある物体が
$$\boldsymbol{v’}=\frac{d\boldsymbol{x}’}{dt’}$$
で運動する時、慣性系\(K\)から見た物体の速度\(\boldsymbol{v}\)は、ローレンツ変換より、
$$\begin{eqnarray}
v_x&=&\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt’}\left(\frac{x’+v_0 t’}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right)\frac{dt’}{dt}=\frac{v_x’+v_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\frac{dt’}{dt}\\
v_y&=&\frac{dy}{dt}=\frac{dy’}{dt’}\frac{dt’}{dt}=v_y’\frac{dt’}{dt}\\
v_z&=&\frac{dz}{dt}=\frac{dz’}{dt’}\frac{dt’}{dt}=v_z’\frac{dt’}{dt}
\end{eqnarray}$$
となる。ここで、
$$\frac{dt}{dt’}=\frac{d}{dt’}\frac{t’+v_0 x’/c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{1+v_0 v_x’/c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$
より、
$$\frac{dt’}{dt}=\frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{1+v_0 v’_x/c^2}$$
となるから、相対論での速度の合成則は、
$$\fbox{\(\begin{eqnarray}
v_x&=&\frac{v_x’+v_0}{1+v_0 v_x’/c^2}\\
v_y&=&v_y’\frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{1+v_0 v_x’/c^2}\\
v_z&=&v_z’\frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{1+v_0 v_x’/c^2}
\end{eqnarray}\)}$$
となる。特に物体も\(x\)方向に運動している時、\(v_x=v,v_y=v_z=0\)であるから
$$\fbox{\(v=\frac{v’+v_0}{1+v_0 v’/c^2}\)}$$
となる。

スポンサーリンク

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です