クライン-ゴルドン方程式

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はじめに

量子力学でシュレディンガー方程式が発見された後、すぐに相対論を考慮した波動関数としてクライン-ゴルドン方程式が発表されるが、負のエネルギーや負の確率が解として出てしまい、歴史的には一度否定される。その後、場の量子論で新しい解釈を得て復活するが、ここでは歴史的な順序通り、相対論を考慮した”量子力学”として導入する。

クライン-ゴルドン方程式

シュレディンガー方程式は、古典的なエネルギーと運動量の関係式
$$E=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}$$
に、演算子の書き換え
$$\begin{eqnarray}
E&→&i\frac{\partial}{\partial t}\\
\boldsymbol{p}&→&-i\boldsymbol{\nabla}\\
\end{eqnarray}$$
を行ったものと言える。同様に相対論的なエネルギーと運動量の関係式
$$E^2=\boldsymbol{p}^2+m^2$$
に演算子の書き換えを行うと
$$-\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\boldsymbol{\nabla}^2\phi+m^2\phi$$
となり、まとめると
$$\fbox{\((□+m^2)\phi(\boldsymbol{x},t)=0\)}$$
となる。この相対論的な波動方程式をクライン-ゴルドン方程式と言う。(ここまでの話にポテンシャルエネルギーは含まれていない。つまり相互作用の無い自由粒子を表している)

クライン-ゴルドン方程式の解

$$\fbox{\(\phi(\boldsymbol{x},t)=\int\frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^\frac{3}{2}}(a_\boldsymbol{k} e^{i\boldsymbol{kx}-i\omega_\boldsymbol{k} t}+b_\boldsymbol{k}^* e^{-i\boldsymbol{kx}+i\omega_\boldsymbol{k} t})\)}$$
\(\phi\)がスカラーであることからスカラー場と呼ばれ、\(x\)と\(t\)以外の粒子の性質を表す自由度が\(\boldsymbol{k}\)(\(=\boldsymbol{p}\))と\(\omega\)(\(=E\))のみで、スピンの自由度を含まないことから、スピン0の粒子を表すと考えられた。

確率のカレント

クライン-ゴルドン方程式に\(\phi^*\)を左から掛け、クライン-ゴルドン方程式の複素共役に\(\phi\)を右から掛けて
$$\begin{eqnarray}
\phi^*(□+m^2)\phi&=&0\\
\{(□+m^2)\phi^*\}\phi&=&0
\end{eqnarray}$$
の2式を用意する。両辺を引くと\(m^2\)の項が消え、
$$\phi^*□\phi-(□\phi^*)\phi=0$$
となり、\(i\)を掛けて、
$$\begin{eqnarray}
i\left\{\phi^*□\phi-(□\phi^*)\phi\right\}&=&i\left[\phi^*\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2\right)\phi-\left\{\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\boldsymbol{\nabla}^2\right)\phi^*\right\}\phi\right]\\
&=&i\left(\phi^*\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\phi\right)+\frac{1}{i}\left\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}^2\phi-(\boldsymbol{\nabla}^2\phi^*)\phi\right\}\\
&=&\frac{\partial}{\partial t}i\left(\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{\partial\phi^*}{\partial t}\phi\right)+\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{1}{i}\left\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}\phi-(\boldsymbol{\nabla}\phi^*)\phi\right\}\\
&=&0
\end{eqnarray}$$
となる。ここで、確率密度\(\rho\)と確率密度のカレント\(\boldsymbol{j}\)を
$$\begin{eqnarray}
\rho&=&i\left\{\phi^*\frac{\partial}{\partial t}\phi-\left(\frac{\partial}{\partial t}\phi^*\right)\phi\right\}\\
\boldsymbol{j}&=&\frac{1}{i}\left\{\phi^*\boldsymbol{\nabla}\phi-(\boldsymbol{\nabla}\phi^*)\phi\right\}\\
\end{eqnarray}$$
と定義すると、確率のカレント\(j^\mu(\rho,\boldsymbol{j})\)の保存則を
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{j}=\partial^\mu j_\mu=0$$
と表すことができる。シュレディンガー方程式の場合と比較すると、\(\boldsymbol{j}\)は同じだが、\(\rho\)は大きく異なっている。(シュレディンガー方程式は\(\rho=\psi^*\psi\)。相対論を取り入れたことで\(\rho\)と\(\boldsymbol{j}\)が対象の形になった)

内積

確率密度\(\rho\)の計算より、クライン-ゴルドン方程式を満たすヒルベルト空間での内積は
$$\langle\phi_1|\phi_2\rangle=i\int d^3\boldsymbol{x}\left(\phi_1^*\frac{\partial\phi_2}{\partial t}-\frac{\partial\phi_1^*}{\partial t}\phi_2\right)$$
で定義される。

問題点

負のエネルギー

エネルギーと運動量の固有値は同時に確定(観測)でき、相対論のエネルギーと運動量の関係式を満たすので、
$$E=\pm\sqrt{\boldsymbol{p}^2+m^2}$$
と負のエネルギー解が出てしまう。

負の確率

簡単に波動関数の平面波解\(\phi=Ae^{-ikx}=Ae^{-i(Et-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x})}\)を使い、上記で求めた内積を使って、確率密度を計算してみると
$$\begin{eqnarray}
\rho&=&i\left(\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\frac{\partial\phi^*}{\partial t}\phi\right)\\
&=&i\{Ae^{ikx}(-AiEe^{-ikx})-AiEe^{ikx}Ae^{-ikx}\}\\
&=&2A^2E
\end{eqnarray}$$
となり、負のエネルギー解があるため、負の確率密度が出てしまう。

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