ルジャンドル変換とハミルトニアン

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ルジャンドル変換

ルジャンドル変換とは、2つの対称的な関数の関係を表す数学の公式である。物理的な意味は考えずに2つの関数\(L\)と\(H\)を
$$\begin{eqnarray}
p&=&\frac{\partial L(\dot{q},q)}{\partial\dot{q}}\\
\dot{q}&=&\frac{\partial H(p,q)}{\partial p}
\end{eqnarray}$$
で定義する。すると、それぞれの関数の全微分は、
$$\begin{eqnarray}
\delta L(\dot{q},q)&=&\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial q}\delta q=p\delta\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\\
\delta H(p,q)&=&\frac{\partial H}{\partial p}\delta p+\frac{\partial H}{\partial q}\delta q=\dot{q}\delta p+\frac{\partial H}{\partial q}\delta q
\end{eqnarray}$$
となり、両辺を足すと、
$$\begin{eqnarray}
\delta(L+H)&=&p\delta\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\dot{q}\delta p+\frac{\partial H}{\partial q}\delta q\\
&=&\delta({p\dot{q}})+\left(\frac{\partial L}{\partial q}+\frac{\partial H}{\partial q}\right)\delta q
\end{eqnarray}$$
となる。ここで、\(q\)が定数\(\delta q=0\)であっても最初の関数の定義には影響しないので、第2項が\(0\)であってもこの式は成り立つ筈である。したがって、任意の\(\delta \dot{q}\)、\(\delta q\)、\(\delta p\)でこの式が成り立つ条件は、第2項の係数が常に\(0\)であり、
$$\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$
および
$$L+H=p\dot{q}$$
となる。最後の式より、2つの関数の変換式
$$\fbox{\(H=p\dot{q}-L\)}$$
が求まる。

ハミルトニアン

ここから物理に戻る。ラグランジアン\(L\)の変数\(\dot{q}\)を\(p\)にルジャンドル変換して求まる関数\(H\)をハミルトニアンと言う。関数\(H\)と変数\(p\)の物理的な意味は、ルジャンドル変換より
$$\begin{eqnarray}
H&=&p\dot{q}-L\\
&=&\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\dot{q}-L\\
&=&\left\{\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V\right)\right\}\dot{q}-\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V\right)\\
&=&(m\dot{q})\dot{q}-\frac{1}{2}m\dot{q}^2+V\\
&=&\frac{1}{2}m\dot{q}^2+V\\
&=&K+V
\end{eqnarray}$$
となり、関数\(H\)は、力学の全エネルギーを表すことがわかる。また、ラグランジアンの定義式
$$p=\frac{\partial L(\dot{q},q)}{\partial\dot{q}}$$
は、以前に導出したラグランジアンと運動量の関係式と同じであり、変数\(p\)は、運動量を表している。実際にハミルトニアンの定義式を計算すると
$$\begin{eqnarray}
\frac{\partial H(p,q)}{\partial p}&=&\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2+V(q)\right)\\
&=&\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{1}{2m}p^2+V(q)\right)\\
&=&p
\end{eqnarray}$$
となり、確かに変数\(p\)が運動量を表すとき、この定義式が成り立つ。

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